Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое (O и o).

Определение:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x_0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

  • f является «О» большим от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{O(g)}, если существует такая константа C>0, что для всех x из некоторой окрестности точки x_0 имеет место неравенство |f(x)| \leq C |g(x)|;
  • f является «о» маленьким от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}, если для любого \varepsilon >0 найдется такая проколотая окрестность U'_{x_0} точки x_0, что для всех x \in U'_{x_0} имеет место неравенство |f(x)|<\varepsilon|g(x)|.

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x_0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при x\to x_0, то есть функция f является бесконечно малой в сравнении с g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;
\sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;
-x^3={O(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; а функция -x^2 ограничена сверху в окрестности точки 0.
\sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x; а функция \sin x всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций f=f(x),\:g=g(x) и x \epsilon \mathbb{R} справедливы равенства:

  1. o(f)+o(f)=o(f);
  2. o(f) тем более есть O(f);
  3. o(f)+O(f)=O(f);
  4. O(f)+O(f)=O(f);
  5. \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)}) и \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}), если g\neq 0; 
  6. o(o(f))=o(f);
  7. o(Cf)=o(f);
  8. C\cdot o(f)=o(f);
  9. o(f+o(f))=o(f);
  10. o(f)\pm o(f)=o(f);
  11. o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};
  12. (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N} .

Примеры:

\underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}
\underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}
\underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция f(x) принимает наибольшее значение max на отрезке [a;b] в точке x_{0}, если x_{0}\epsilon [a;b] и \forall x\epsilon [a;b]: f(x_{0})> f(x).
Аналогично функция f(x) принимает наименьшее значение min на отрезке [a;b] в точке x_{1}, если x_{1}\epsilon [a;b] и \forall x\epsilon [a;b]: f(x_{1})< f(x).

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^{2}-4x+6 на сегменте [-3;10].

Решение:

Найдем производную функции {f}'(x)=2x-4.  Найдем точки, в которых производная равна нулю: {f}'(x)=2x-4=0 \Rightarrow  x=2. Значение x=2 принадлежит сегменту [-3;10]. Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

  1. f(2)=4-8+6=2;
  2. f(-3)=9+12+6=27;
  3. f(10)=100-40+6=66.

Таким образом:
f(x)_{min_{[0;5]}}=f(2)=2;
f(x)_{max_{[0;5]}}=f(10)=66.

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра h, если при заданном объеме площадь полной поверхности S является наименьшей.

Решение:

Svg.5.ex

Пусть V — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности S=2\pi x^{2}+2\pi hx, тогда V=S_{1}\times h=\pi x^{2}h, где S_{1} — площадь основания цилиндра \Rightarrow h=\frac{V}{\pi x^{2}}.

Тогда S=2\pi x^{2} +2\pi x\frac{V}{\pi x^{2}}=2(\pi x^{2}+\frac{V}{x}). Найдем производную {S}': {S}'=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}}). Найдем стационарные точки: {S}'=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}})=0 \Rightarrow {S}' =\frac{2\pi x^{3}-V}{x^{2}}=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}. Получим: \frac{x}{h}=\frac{x}{\frac{V}{\pi x^{2}}}=\frac{\pi x^{3}}{V}=\frac{\pi \frac{V}{2\pi }}{V}=\frac{1}{2} \Rightarrow h=2x.

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».

Таблица лучших: Наибольшее и наименьшее значения функции

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. S=S(t) — путь пройденый точкой за время t от начала движения. Путь пройденный точкой за время от t до t+\Delta t = S(t+\Delta t) - S(t) .
    graph2
    Средняя скорость: V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}
    Если движение точки — равномерное, то V_{cp} — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то V_{cp} не меняется при изменении \Delta t .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент t: V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t} .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция f определена в \delta-окрестности точки x_0 и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: M_0 (x_0;y_0) и M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x)) .
    Уравнение прямой, проходящей через точки M и M_0 имеет вид y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0), где \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0), \Delta x=x-x_0.
    \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha
    Эту прямую называют секущей, а число k=\tan \alphaугловым коэффициентом секущей.
    \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением y=f(x) в точке x_0 называют предельное положение секущей при \Delta x \to 0.
    Если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}, то прямая, проходящая через точку M_0 с угловым коэффициентом k_0 называется касательной к графику функции y=f(x) в точке x_0 .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки x_0 определены функции f,g и \alpha, такие, что имеют место соотношения f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0, то функцию f называют бесконечно малой функцией в сравнении с g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))} .

Замечание:

Если \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0, то \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0 .

Примеры:

x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}, т.к. \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0

\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}
\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}.

Определение:

  • В случае, когда в записи f=\underset{x\to x_0}{o(g)}   g — бесконечно малая функция, говорят, что fбесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем g, gбесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем f.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0, f и g — бесконечно малые функции при x\to x_0, говорят, что f и g являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0  g — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция f имеет m-й порядок малости относительно функции g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0. x^2 — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)}; т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0 (т.к. sin \frac{1}{x} — ограниченная функция). x^3 sin\frac{1}{x} — функция более высокого порядка малости, чем x;
\tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0. \tan^2 x — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. Функции \tan x и x являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1. \tan^6 x имеет 6-й порядок малости относительно x.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература:

Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка x_{0} называется точкой локального максимума функции f(x), если выполняется условие:  \exists U_{\delta }(x_{0}) : \forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq f(x).
Аналогично точка x_{0} называется точкой локального минимума функции f(x) , если выполняется условие:  \exists U_{\delta }(x_{0}):\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq f(x).

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка x_{0} — точка экстремума функции f(x), то она критическая.

Доказательство

По условию точка x_{0} — точка экстремума функции f(x) \Rightarrow по теореме Ферма производная {f}'(x_{0})=0 \Rightarrow точка x_{0} является критической.

Пример:

Найти экстремум функции f(x)=x^{3}- 6x^{2}+9x-4.
Найдем производную этой функции:{f}'=3x^{2}-12x+9 \Rightarrow критические точки задаются уравнением 3x^{2}-12x+9 =0. Корни этого уравнения x_{1}=3 и x_{2}=1.

Svg.4.ex

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: f(3)=27- 54+27-4=-4 и f(1)=1-6+9-4=0 \Rightarrow в точке  x_{1}=3 функция имеет минимум, равный -4, а в точке x_{2}=1 функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x)=x^{3}. Построим график этой функции:

Svg.4.ex

Производная данной функции в точке x_{0}=0 {f}'(0)=0 \Rightarrow x_{0} по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

 

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки x_{0}, кроме, быть может, самой точки x_{0} и непрерывна в этой точке. Тогда:

  1. Если производная {f}' меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку x_{0}: \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)< 0 и \forall x\in (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)> 0, то x_{0} — точка строго минимума функции f(x).
  2. Если производная {f}' меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку x_{0}: \forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)> 0 и  \forall x\in (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)< 0, то x_{0} — точка строго максимума функции f(x).

Доказательство

Пусть, например, {f}' меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку x_{0} на сегменте \left [ x;x_{0} \right ]. Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: f(x)-f(x_{0}) ={f}'(\xi)(x-x_{0}), \xi \in (x;x_{0}). Поскольку при переходе через точку x_{0} функция меняет знак с «-» на «+», то {f}'(\xi)<0 и x< x_{0}, то x- x_{0}<0 f(x)-f(x_{0})>0.
Аналогично рассмотрим сегмент \left [ x_{0};x \right ], получим
f(x)-f(x_{0})>0 \Rightarrow f(x_{0})< f(x) \Rightarrow   x_{0} — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если x_{0} — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная {f}' (x) меняет знак при переходе через точку x_{0}.

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция f(x), она определена в некоторой окрестности точки x_{0} , ее первая производная {f}'(x_{0})=0 и пусть \exists {f}''(x_{0}), тогда:

  1. Если {f}''(x_{0})>0, то точка x_{0} — точка строгого минимума;
  2. Если {f}''(x_{0})<0, то точка x_{0} — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда {f}''(x_{0})>0. По скольку {f}''(x_{0}) непрерывна, то на достаточно малом интервале (x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta), т.к {f}''(x_{0})>0, то {f}'(x_{0}) возрастает в этом интервале. {f}'(x_{0})=0, значит {f}'(x_{0})<0 на интервале (x_{0}-\delta ;x_{0}) и  {f}'(x_{0})>0 на интервале (x_{0} ;x_{0}+\delta).
Таким образом функция f(x) убывает на интервале (x_{0}-\delta ;x_{0}) и возрастает на интервале (x_{0} ;x_{0}+\delta) \Rightarrow по первому достаточному условию экстремума функция в точке x_{0} имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если {f}'(x)=0 и {f}''(x)=0, то функция f(x) может и не иметь экстремум в точке x_{0}.

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x_{0} , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть \exists f^{(n)}(x_{0}), n> 2 и  {f}'(x_{0})={f}''(x_{0})=...=f^{(n-1)}(x_{0})=0,  f^{(n)}(x_{0})\neq 0. Тогда:

  1. Если n=2k (т.е n — четное), то x_{0} — точка экстремума:
    • если f^{(n)}(x_{0})<0, то x_{0} — точка локального максимума;
    • если f^{(n)}(x_{0})>0, то x_{0} — точка локального минимума;
  2. Если n=2k+1 (т.е n — нечетное), то x_{0} — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки x_{0} с остатком в форме Пеано: f(x)=f(x_{0})+ \frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+... + \frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+ o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.
По скольку все производные до (n-1) порядка включительно равны нулю получим:  f(x)-f(x_{0})=\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}. Запишем полученное выражение в виде:  f(x)-f(x_{0})=\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ]. Выражение [1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1. Пусть n=2k \Rightarrow (x-x_{0}) ^{n}> 0,  \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=  \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}). Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку x_{0} зависит от четности n. Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

Экстремум функции

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Таблица лучших: Экстремум функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных