M617. Треугольник с внутренними окружностями

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 2 выпуск)

Условие

Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$. Докажите, что центр окружности $\delta$ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данный треугольник окружности и окружности, описанной около него.

Решение

Пусть $ABC$ — данный треугольник и $O_1$, $O_2$, $O_3$ — центры конгруэнтных окружностей, касающихся пар его сторон, а $O_4$ — центр четвертой окружности — той, которая касается указанны трех (см. рисунок). Длины их радиусов обозначим через $\varrho$. Треугольник $O_1O_2O_3$ гомотетичен треугольнику $ABC$, так как его стороны соответственно параллельны сторонам треугольника $ABC$. Не трудно видеть, что центром этой гомотетии будет точка $N$, являющаяся одновременно центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$, и центром окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$. Действительно, прямые $AO_1$, $BO_2$, $CO_3$ являются биссектрисами углов как треугольника $ABC$, так и треугольника $O_1O_2O_3$, а точка $N$ — точка пересечения этих биссектрис.

Теперь заметим, что точка $O_4$ является центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$ (её расстояния до каждой из вершин этого треугольника равно $2\varrho$).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $N$, переводящую треугольник $O_1O_2O_3$ в треугольник $ABC$. Точка $O_4$ переходит при этом в некоторую точку $M$, лежащую на прямой $NO_4$. Мы уже знаем, что точка $O_4$ была центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$; следовательно, её образ — точка $M$ — будет центром окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$. Тем самым доказано утверждение задачи.

Нетрудно вычислить величину радиуса $\varrho$ этих четырех окружностей через $r$ и $R$ — радиусы вписанной в треугольник $ABC$ окружности и окружности, описанной около него.

Заметим, что радиус окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$, равен $r -\varrho$, а радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен $2\varrho$.

Пусть $k$ — коэффициент рассмотренной выше гомотетии. Тогда $(r — \varrho)k = r$ и $2\varrho k = R$. Выразив $k$ из каждого соотношения и приравняв полученные выражения, найдем $$\frac{r}{r-\varrho} = \frac{R}{2\varrho}\;,$$ откуда $$\varrho = \frac{rR}{R+2r}\;.$$

А.Савин

М1693. О пересекающихся окружностях

Задача о пересекающихся окружностях

Условие
Две окружности пересекаются в точках $Р$ и $Q$.Третья окружность с центром в точке $Р$ пересекает первую в точках $А$, $В$, а вторую – в точках $С$ и $D$ (см.рисунок). Докажите, что углы $\angle AQD$ и $\angle BQC$ равны.
http://ib.mazurok.com/wp-content/uploads/2018/06/1-2.svg
Решение
Треугольники $АРВ$ и $DPC$ равнобедренные. Обозначим углы при их основаниях $\angle АВР = \angle ВАР = \alpha$, $\angle DCP = \angle CDP = \beta$. Четырехугольники $AQBP$ и $DQCP$ вписанные, отсюда $\angle AQP = \angle ABP = \alpha$ и $\angle DQP = \angle DCP = \beta$ . Получаем: $∠AQD = \angle AQP + \angle DQP = \alpha + \beta$ . Далее, $ \angle BQP = \angle BAP = \alpha$, также $ \angle CQP = \beta и \angle BQC = \angle BQP + \angle CQP = \alpha + \beta$ . Значит, $\angle AQD = \angle BQC$.

А.Заславский

М1693. О трёх окружностях

Задача из журнала «Квант» (1999, №4)

Условие

Две окружности пересекаются в точках \(P\) и \(Q\). Третья окружность с центром в точке \(P\) пересекает первую в точках \(A\), \(B\), а вторую в точках — \(C\) и \(D\) (см. рисунок). Докажите, что углы \(AQD\) и \(BQC\) равны.
1693

Решение

Треугольники \(APB\) и \(DPC\) равнобедренные. Обозначим углы при их основаниях \(\angle ABP =\angle BAP = \alpha \), \(\angle DCP =\angle CDP = \beta \). Четырехугольники \(AQBP\) и \(DQCP\) вписанные, отсюда \(\angle AQP =\angle ABP = \alpha \) и \(\angle DQP =\angle DCP = \beta \). Получаем: \(\angle AQD = \angle AQP + \angle DQP = \alpha + \beta \). Далее, \(\angle BQP =\angle BAP = \alpha \), также \(\angle CQP = \beta \) и \(\angle BQC = \angle BQP + \angle CQP = \alpha + \beta \). Значит, \(\angle AQD = \angle BQC\).

А. Заславский

M1452. Общая касательная к касающимся внешним образом окружностям

Условие

Окружности S_1 и S_2 касаются внешним образом в точке F. Прямая l касается S_1 и S_2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l, касается S_2 в точке C и пересекает S_1 в точках D и E. Докажите, что а) точки A, F и C лежат на одной прямой; б) общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

К задаче M1452

Решение а) Первое решение

Так как касательные к окружности S_2 в точках B и C параллельны, то BC — ее диаметр, и ∠BFC=90°. Докажем, что и ∠AFB=90°. Проведем через точку F общую касательную к окружностям, пусть она пересекает прямую l в точке K. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники AKF и BKF равнобедренные. Следовательно,
∠AFB=∠AFK+∠KFB=∠FAB+∠FBA=180°/2=90°

Решение а) Второе решение

Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным -r_2/r_1, где r_1 и r_2 — радиусы окружностей S_1 и S_2. При этой гомотении S_1 переходит в S_2, а прямая l — касательная к S_1 — переходит в S_2. Следовательно, точка A переходит в точку C, поэтому точка F лежит на отрезке AC.

Решение б)

Ниже мы покажем, что центр окружности BDE находится в точке A. Поскольку центр окружности ABC есть середина AC (∠ABC=90°), а ∠BFC=90° (см. первое решение п. а)), отсюда будет следовать, что BF есть перпендикуляр, опущенный из общей точки окружностей BDE и ABC на прямую, соединяющею их центры. А это и значит, что прямая BF содержит их общую хорду.

Итак, нам достаточно доказать, что AD=AE=AB. Первое из этих равенств очевидно(ибо касательная к S_1 в точке A параллельна DE). Пусть r_1 и r_2 — радиусы S_1 и S_2. Опуская перпендикуляр AP на DE, найдем, что AP=BC=2r_2, и по теореме Пифагора для треугольников APD и O_1PD, где O_1 — центр S_1 PD^2=O_1D^2-O_1P^2=r_1^2-(2r_2-r_1)^2=4r_1r_2-4r_2^2 AD^2=AP^2+PD^2=4r_1r_2

Но легко найти, что общая касательная AB окружностей S_1 и S_2 равна 2\sqrt{r_1r_2}.

А. Калинин, В. Дубровский