Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.
Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.
Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex], то для любого действительного числа [latex]\alpha\ne 0[/latex] [latex] \int[\alpha f(x)] dx=\alpha F(x)+C[/latex], или
Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при [latex]\alpha=0[/latex] оно не верно по той причине, что в левой части совокупность всех постоянных, а в правой — тождественный нуль.
[свернуть]
Спойлер
Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]
Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 8
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
6
7
8
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 8
1.
Вставьте пропущенное слово
Нахождение неопределённого интеграла от заданной функции называют (интегрированием).
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 8
2.
Вставьте пропущенное слово.
Под знаком интеграла пишут не саму функцию f, а ее произведение на (дифференциал). Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 8
3.
Какая из следующих формул — линейность интеграла?
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 8
4.
Отсортируйте по возрастанию, при [latex]x=1,[/latex] [latex]C=1[/latex]
∫cos(x)dx
∫dx
∫exdx
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 8
5.
Функция [latex]F(x)[/latex] называется первообразной функции [latex]f(x)[/latex] на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка справедливо равенство:
Правильно
Неправильно
Задание 6 из 8
6.
Если [latex]y=f(x)[/latex] непрерывна на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке
Правильно
Неправильно
Задание 7 из 8
7.
Неверными являются следующие свойства неопределенного интеграла
Правильно
Неправильно
Задание 8 из 8
8.
Оцените, пожалуйста, мой тест
1-ужасно
2-неплохо
3-нормально
4-хорошо
5-отлично
Спасибо!
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства
Дифференцируемыев промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex] функции [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции [latex]f(x)[/latex] тогда и только тогда, когда разность их значений для любого [latex]x\in\bigtriangleup[/latex] постоянна.
[latex]F(x)-G(x)=C=const[/latex]
Спойлер
Пусть [latex]F(x)[/latex] — некоторая первообразная функции [latex]f(x)[/latex] в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex]. Следовательно, по определению [latex]F'(x)=f(x)[/latex]. Но тогда и функция [latex]G(x)=F(x)-C[/latex] ([latex]C=const[/latex]) также является промежутке первообразной функции [latex]f(x)[/latex] в этом промежутке , поскольку [latex]G'(x)=(F(x)-C)’=F'(x)=f(x)[/latex].
Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство [latex]H'(x)=0[/latex] означает, что [latex]H(x)=F(x)-G(x)=C=const[/latex].
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] могут быть первообразными лишь одной и той же функции.
[свернуть]
Литература.
Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15
Тест
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 1 заданий окончено
Вопросы:
1
Информация
Теорема о разнице двух первообразных
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция [latex]sgn x[/latex] постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид [latex]F(x)=x+C[/latex] (или [latex]F(x)=-x+C[/latex]), где [latex]C[/latex] — некоторое число.
Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_1=-x+C_1[/latex], а на интервале (0,1) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_2(x)=x+C_2[/latex].
При любом выборе постоянных [latex]C_1[/latex] и [latex]C_2[/latex] мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать [latex]C_1=C_2=C[/latex], то получим функцию [latex]F(x)=|x|+C[/latex], недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция [latex]sgn x[/latex] не имеет первообразнойна интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.
[свернуть]
Спойлер
Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1[/latex]. По теореме* предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.
* Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a[/latex].
Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:
[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]
Спойлер
[latex]F(x)=2\sqrt{x}[/latex]
[свернуть]
[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]
Спойлер
[latex]F(x)=\frac{1}{x}[/latex]
[свернуть]
[latex]f(x)=cos(x)[/latex]
Спойлер
[latex]F(x)=sin(x)[/latex]
[свернуть]
Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной[latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].
Литература
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454
Тест
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 4 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
Информация
Определение первообразной
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 4
1.
Количество баллов: 4
Первообразной функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex] будет функция
Задание 2 из 4
2.
Количество баллов: 4
У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на
Задание 3 из 4
3.
Количество баллов: 1
Сколько первообразных имеет функция?
Задание 4 из 4
4.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенное слово
Всякая … в некотором промежутке функция имеет первообразную в этом промежутке.
