Симметрическая группа

Множество всех подстановок порядка n с операцией умножения подстановок образуют группу S_n. Единичным элементом группы является подстановка e=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix}, обратной подстановкой для \pi=\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_n\\j_1&j_2&\cdots&j_n\end{pmatrix} является \pi^{-1}=\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}. Порядок этой группы равен n!.
Группа S_n называется симметрической группой порядка n .
При n>2 группа S_n не коммутативна.

Пример

Группа S_3 состоит из шести элементов: e=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}. Эта группа не коммутативна: произведение \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix} равно \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}, что отлично от \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}.

Задача

Доказать, что порядок группы S_n равен n!.

Спойлер

Найдём порядок |S_n| группы S_n. Символ 1 можно подходящей перестановкой \sigma перевести в любой другой символ \sigma (1), для чего существует в точности n различных возможностей. Но, зафиксировав \sigma (1), в качестве \sigma (2) мы имеем право брать только один из оставшихся n-1 символов (всего различных пар \sigma (1),\sigma (2) имеется (n-1)+(n-1)+...+(n-1)=n(n-1) ), в качестве \sigma (3) — соответственно n-2 символов и т.д. Всего возможностей выбора \sigma (1),\sigma (2),...\sigma (n), а стало быть, и различных перестановок будет n(n-1)...2\cdot 1=n!.

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.