Симметрическая группа

Множество всех подстановок порядка [latex]n[/latex] с операцией умножения подстановок образуют группу [latex]S_n[/latex]. Единичным элементом группы является подстановка [latex]e=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix}[/latex], обратной подстановкой для [latex]\pi=\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_n\\j_1&j_2&\cdots&j_n\end{pmatrix}[/latex] является [latex]\pi^{-1}=\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}[/latex]. Порядок этой группы равен [latex]n![/latex].
Группа [latex]S_n[/latex] называется симметрической группой порядка [latex]n[/latex] .
При [latex]n>2[/latex] группа [latex]S_n[/latex] не коммутативна.

Пример

Группа [latex]S_3[/latex] состоит из шести элементов: [latex]e=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}.[/latex] Эта группа не коммутативна: произведение [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}[/latex] равно [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}[/latex], что отлично от [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}[/latex].

Задача

Доказать, что порядок группы [latex]S_n[/latex] равен [latex]n![/latex].

Спойлер

Найдём порядок [latex]|S_n|[/latex] группы [latex]S_n[/latex]. Символ 1 можно подходящей перестановкой [latex]\sigma[/latex] перевести в любой другой символ [latex]\sigma (1)[/latex], для чего существует в точности [latex]n[/latex] различных возможностей. Но, зафиксировав [latex]\sigma (1)[/latex], в качестве [latex]\sigma (2)[/latex] мы имеем право брать только один из оставшихся [latex]n-1[/latex] символов (всего различных пар [latex]\sigma (1),\sigma (2)[/latex] имеется [latex](n-1)+(n-1)+…+(n-1)=n(n-1)[/latex] ), в качестве [latex]\sigma (3)[/latex] — соответственно [latex]n-2[/latex] символов и т.д. Всего возможностей выбора [latex]\sigma (1),\sigma (2),…\sigma (n)[/latex], а стало быть, и различных перестановок будет [latex]n(n-1)…2\cdot 1=n![/latex].

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Циклическая группа

Будем говорить, что группа [latex]G[/latex] является циклической, если существует такой элемент [latex]a\in G[/latex], что всякий элемент [latex]x\in G[/latex] может быть записан в виде [latex]x=a^n[/latex], где [latex]n\in Z[/latex](другими словами, если отображение [latex]f: Z\rightarrow G[/latex], определяемое формулой [latex]f(n)=a^n,[/latex]сюръективно). При этом элемент [latex]a[/latex] называется образующей группы [latex]G[/latex]. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — всякое целое число кратно числу [latex]1[/latex], то есть это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы также взять число [latex]-1[/latex].
Примером конечной циклической группы порядка [latex]n[/latex] служит мультипликативная группа корней [latex]n[/latex]-ой степени из единицы. Все эти корни являются степенями одного их них, а именно первообразного корня.

Задача

Пусть [latex]G[/latex] — группа с групповой операцией [latex]\ast[/latex] и [latex]g\in G[/latex]. Доказать, что множество [latex]H=\{g^k, (g’)^k|k\in N\cup \{0\}\}[/latex] является группой. Группа [latex]H[/latex] является циклической, порождённой [latex]g[/latex]. [latex]H=\langle g\rangle[/latex].

Спойлер
[свернуть]

Решение.Введём обозначения:[latex] g’=g^{-1}, (g’)^k=g^{-k}[/latex]. Докажем, что для [latex]m,n\in Z[/latex] выполняется [latex]g^m\ast g^n=g^{m+n}[/latex].
[latex] m\geq 0, n\geq 0\Rightarrow g^m\ast g^n=g^{m+n}[/latex].
[latex]-n\leq m<0

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Подструктуры

Подгруппа

Пусть [latex]H\neq\varnothing[/latex]. Множество [latex]H[/latex] является подгруппой группы [latex]G[/latex], если само [latex]H[/latex] является группой относительно сужения операции, определённой на [latex]G[/latex].

Критерий подгруппы

Пусть [latex]G[/latex] — группа. [latex] H\in G. H\neq\varnothing[/latex]
Тогда [latex]H[/latex] является подгруппой [latex]G \Leftrightarrow \forall a,b\in H ab^{-1}\in H ((a-b)\in H).[/latex], где [latex]b^{-1}[/latex] — элемент, обратный к [latex]b[/latex].

Задача

Проверить, являеется ли группа [latex](mZ,+) (m\geq 1)[/latex] подгруппой группы [latex](Z, +)[/latex], где [latex]Z[/latex] — множество целых чисел.

Спойлер

То, что [latex](mZ,+)[/latex] — группа, легко доказывается по определению.
Рассмотрим любые два элемента, принадлежищие множеству [latex]mZ[/latex].
[latex]\forall a,b\in mZ a=ma_1, b=mb_1 a,b,m\in Z[/latex]
[latex]a-b=ma_1-mb_1=m(a_1-b_1)\in mZ[/latex]
[latex]\Rightarrow[/latex] по критерию [latex](mZ,+)[/latex] подгруппы является подгруппой [latex](Z,+).[/latex]

[свернуть]

Подкольцо

Рассмотрим кольцо [latex]\mathcal{R}=(R,+,\cdot ,0,1)[/latex]. Если множество [latex]Q[/latex] есть подмножество множества [latex]R[/latex], замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца [latex]R[/latex], содержащее нуль и единицу кольца [latex]R[/latex], а также вместе с каждым [latex]x\in Q[/latex] содержащее противоположный к нему элемент [latex](-x)[/latex], то [latex]\mathcal{Q}=(Q,+,\cdot ,0,1)[/latex] также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца [latex]\mathcal{R}[/latex].

Другими словами, [latex]\mathcal{Q}[/latex] называется подкольцом в [latex]\mathcal{R}[/latex], если оно само является кольцом относительно сужения операций, определенных на [latex]R[/latex].

Критерий подкольца

Непустое подмножество [latex]R_1[/latex] кольца [latex]R[/latex] будет его подкольцом [latex]\Leftrightarrow[/latex]

  1. [latex]\forall a,b\in R_1 (a+b)\in R_1[/latex]
  2. [latex]\forall a,b\in R_1 ab\in R_1[/latex]

Подполе

Пусть [latex]P[/latex]-поле. [latex]L\subset P, L\neq\varnothing.[/latex]
[latex]L[/latex] называется подполем [latex]P[/latex], если [latex]L[/latex] само является полем относительно сужения операций, определённых на [latex]P[/latex].
При этом [latex]P[/latex] называется расширением [latex]L[/latex].
Понятие подполя определяется аналогично понятию подкольца.Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом [latex]x[/latex] содержать обратный к нему по умножению поля элемент [latex]x^{-1}[/latex] . Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля.

Пример

Спойлер

Если [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] — различные элементы поля [latex]F[/latex], то мы можем определить новое сложение [latex]\oplus[/latex] и новое умножение [latex]\odot[/latex] в [latex]F[/latex] следующим образом:
[latex]x\oplus y=x+y-a, x\odot y=a-(x-a)(y-a)/(b-a).[/latex]
(В геометрических терминах: мы меняем начало координат и масштаб.) Легко видеть, что элементы множества [latex]F[/latex] образуют также поле и относительно новых операций. Мы обозначаем это новое поле через [latex]F'[/latex]. Ясно, что подмножество поля [latex]F[/latex], которое является подкольцом поля [latex]F'[/latex], не будет, вообще говоря, подкольцом поля [latex]F[/latex]. Отметим, что [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] будут соответственно нулем и единицей поля [latex]F'[/latex].

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля.

Группа

Множество [latex]G[/latex] с бинарной алгебраической операцией [latex]\ast[/latex] называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция [latex]\ast[/latex] в [latex]G[/latex] ассоциативна: [latex]a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G[/latex];
  2. В [latex]G[/latex] существует нейтральный элемент [latex]\theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;[/latex]
  3. Для каждого элемента [latex]a\in G[/latex] существует обратный ему элемент [latex]a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta [/latex].

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

  1. Ассоциативность очевидна
    [latex]\forall a,b,c\in R a+(b+c)=(a+b)+c[/latex]
  2. Нейтральным элементом является число 0.
    [latex] 0+a=a+0=a \forall a\in r[/latex]
  3. Для каждого элемента множества R существует обратные ему элемент, также принадлежащий множеству [latex]R[/latex] .
    [latex] a^{-1}=-a[/latex]
    [latex]\forall a\in R a+(-a)=(-a)+a=\theta=0[/latex]

[latex]\Rightarrow R[/latex] является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
[latex] \forall a,b\in R a+b=b+a[/latex] — верно.
[latex]\Rightarrow[/latex]Группа абелева.
Что и требовалось доказать

[свернуть]

Кольцо

Множество [latex]K[/latex] , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение [latex]\cdot[/latex], называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество [latex]K[/latex] — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: [latex]a+b=b+a \forall a,b\in K;[/latex]
    2. Операция сложения ассоциативна:[latex] a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;[/latex]
    3. Существует нулевой элемент [latex]\theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;[/latex]
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент [latex](-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;[/latex]
  2. Операция умножения в множестве [latex]K[/latex] ассоциативна:
    [latex]a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c[/latex][latex] \forall a,b,c\in K[/latex]
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    [latex](a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b \forall a,b,c\in K[/latex]

Если операция умножения коммутативна:[latex]a\cdot b=b\cdot a[/latex], то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент [latex]e: a\cdot e=e\cdot a=a[/latex], то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

    1. Коммутативность сложения
      [latex] (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)[/latex] [latex] \forall (a+bi),(c+di)\in C[/latex]
    2. Ассоциативность сложения
      [latex] ((a+bi)+(c+di))+(e+fi)=((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+bi)+((c+di)+(e+fi))[/latex] [latex] \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C[/latex]
    3. Существование нейтрального элемента
      [latex] \forall (a+bi)\in C (a+bi)+(0+0i)=(a+bi)[/latex]
    4. Существование обратного элемента
      [latex] \forall (a+bi)\in C \exists (-a-bi)\in C:
      (a+bi)+(-a-bi)=(0+0i)[/latex]
  1. Ассоциативность умножения
    [latex] \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    (a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=(a\cdot (ce-df)-b\cdot (cf+de))+(a\cdot (cf+de)+b\cdot (ce-df))i)=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i=(e\cdot (ac-bd)-f\cdot (ad+bc))+(e\cdot (ad+bc)+ f\cdot (ac-bd))=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)[/latex]
  2. Дистрибутивность сложения и умножения
    [latex] \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    ((a+bi)+(c+di))\cdot (e+fi)=((a+c)+(b+d)i)\cdot (e+fi)=((a+c)e-(b+d)f)+((a+c)f+(b+d)e)i)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)i=(ae-bf)+(be+af)i+(ce-df)+(cf+de)i=(a+bi)\cdot (e+fi)+(c+di)\cdot (e+fi)[/latex]

Множество комплексных чисел является кольцом

[свернуть]

Поле

Полем называется кольцо [latex]P[/latex], обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. [latex]\forall a,b\in P[/latex], где [latex]a\neq 0[/latex], уравнение [latex]ax = b[/latex] имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что [latex]aq = b[/latex].

2. [latex]P[/latex] содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Бинарные отношения

Пусть $A$ и $B$ два конечных множества. Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называют множество $A\times B,$состоящее из всех упорядоченных пар, где $ a\in A, b\in B. $

Бинарным отношением между элементами множества $A$ и $B$ называется любое подмножество $R$ множества $A\times B$, то есть $ R\subset A\times B.$

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т.е. множество пар), то говорят, что параметры $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$, если пара $\langle x,y \rangle $ является элементом R, т.е. $\langle x,y \rangle\in R. $

Высказывание: «предметы $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$» записывают в виде $xRy.$Таким образом, $ xRy\leftrightarrow\langle x,y\rangle\in R.$

Если $R\subset A\times A $, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве $A$.

Примеры бинарных отношений:

  • на множестве целых чисел $Z$ отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
  • на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
  • на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».
  • Областью определения бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $x$, для которых $\langle x,y \rangle\in R $ хотя бы для одного $y$.
    Область определения бинарного отношения будем обозначать $ \Re R$.
    $\Re R=\{ x|\exists y(\langle x,y\rangle\in R)\}$
    Областью значений бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $y$, для которых $\langle x,y \rangle\in R $ хотя бы для одного $x$.
    Область значений бинарного отношения будем обозначать $\Im R$
    $\Im R=\{ y|\exists x(\langle x,y\rangle\in R)\}$

    Инверсия (обратное отношение) $R$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\langle y,x\rangle\in R\}$ и обозначается, как ${R}^{-1}.$

    Композиция (суперпозиция) бинарных отношений $R$ и $S$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\exists z\langle xSz\wedge zRy\rangle\}$ и обозначается, как $R\circ S$.

    Свойства бинарных отношений

    Бинарное отношение $R$ на некотором множестве $M$ может обладать различными свойствами, например:

    • Рефлексивность: $\forall x\in M(xRx)$
    • Антирефлексивность (иррефлексивность): $\forall x\in M\neg (xRx)$
    • Корефлексивность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow x=y)$
    • Симметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow yRx)$
    • Антисимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$
    • Асимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow\neg (yRx))$. Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.
    • Транзитивность: $\forall x,y,z\in M(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$
    • Связность: $\forall x,y\in M(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$

    Виды отношений

    • Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка
    • Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности
    • Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка
    • Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка
    • Полное антисимметричное (для любых $x, y$ выполняется $xRy$ или $yRx$) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка
    • Операции над отношениями

      Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве $M$.

      • Пересечение. Пересечением двух бинарных отношений ($A$и $B$) является отношение, которое определяется пересечением соответствующих подмножеств. Очевидно, что отношение $A\cap B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны как первым, так и вторым отношением ($xAy$ и $xBy$).

        Например, пересечением отношения «не меньше» и «не равно» является отношение «больше».
        $ xAy\Leftrightarrow x\geq y, xBy\Leftrightarrow x\neq y$, тогда $A\cap B\Leftrightarrow x>y $

      • Объединение. Объединением двух бинарных отношений ($A$ и $B$) является отношение, которое определяется объединением соответствующих подмножеств. Отношение $A\cup B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны хотя бы одним из двух отношений хотя бы одно из отношений ($xAy$ или $xBy$).

        Например, объединением отношения «больше» и отношения «равно» является отношение «больше, либо равно».

      • Включение. Обозначается $A\subseteq B$. Первое отношение включено во второе, если все те пары, для которых выполняется первое отношение, являются подмножеством пар, для которых выполняется второе отношение. Если $A\subseteq B$, то $A\neq B$. Если $A\subseteq B$, то, когда любые два элемента из множества, на котором выполняется отношение $A$, связаны этим отношением, они связаны отношением $B$.
      • Очевидно, для любого отношения $A \varnothing\subseteq A\subseteq U$, где $\varnothing$ — пустое, а $U$- полное отношение.

      Графическое представление бинарных отношений

      Приведём в пример два графических представления бинарных отношений на множстве $X = \{a, b, c, d, e\}.$
      Первый способ тесно связан с аналитической геометрией. Пусть дана пара взаимно перпендикулярных осей ($Ox$ и $Oy$). На каждой оси нужно отметить точки которые являются элементами множества $X$.
      Будем считать, что $a, b, c, d, e$ — координаты точек на горизонтальной и вертикальной осях. Теперь отметим на плоскости точки с координатами $(x, y)$. На рисунке изображена совокупность точек, соответствующих следующему отношению: $R=\{(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)\}.$
      Image1

      Следующий способ, который мы рассмотрим, заключается в использовании ориентированных графов. Элементы множества $X$ становятся вершинами графа, а элементы $\langle x,y\rangle $ отношения $R$ ребрами, которые соединяют первый член $x$ отношения со вторым членом $y$. Граф, соответствующий бинарному отношению $R$, изображен на рисунке.
      Image1

      Задача

      Бинарное отношение $R$ задано на множестве $A=\{1,2,3,4\}$, определить его свойства.
      $R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(2,4)\}$

      Спойлер

      Проверим все свойства отношения:

      • Рефлексивность
        $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
        Можно привести контрпример: $x=3$, пара $\langle 3,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является рефлексивным.
      • Антирефлексивность
        $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
        Можно привести контрпример: $x=1$, пара $\langle 1,1\rangle$ принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
      • Корефлексивность
        $(\forall x,y\in A)\langle x,y\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
        Можно привести контрпример: $x=1,y=2$, пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, но $x\neq y$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
      • Симметричность
        $ \forall x,y\in A (\langle x,y\rangle\in R): \langle y,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
        Можно привести контрпример, $x=1,y=2$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 2,1\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является симметричным.
      • Антисимметричность
        $\forall x,y\in A(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$ – это истинное высказывание
        Контрпример подобрать невозможно. Бинарное отношение является антисимметричным.
      • Асимметричность
        Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения и отношение не является антирефлексивным, отношение не является асимметричным.
      • Транзитивность
        $\forall x,y,z\in A(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$– это ложное высказывание.
        Можно привести контр пример, $x=1,y=2,z=3$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству R и пара $\langle 2,3\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 1,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является транзитивным.
      • Связность
        $\forall x,y\in A(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$ – это ложное высказывание.
        Можно привести контрпример, $x=3,y=4$, $3\neq 4$ пара $\langle 3,4\rangle$ не принадлежит множеству $R$ и пара $\langle 4,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является связанным.

      Вывод: заданное бинарное отношение обладает только одним свойством антисимметричности.

      [свернуть]

      Источники: