Пусть $f(x)\in\mathbb{P}[x]$ и $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$.
Значением многочлена на элементе $\alpha$ $(\alpha\in\mathbb{P})$ называется
$f(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+…+a_1\alpha+a_0\in\mathbb{P}$.
Если значение многочлена на элементе $\alpha$ равно нулю, т.е. $f(\alpha)=0$, то
$\alpha$ называется корнем многочлена $f(x)$.
Число $\alpha$ называется $k$ кратным корнем многочлена $f(x)$ если многочлен делится на
$(x-\alpha)^k$, $k>1$ ($k$ — натуральное число), но не делится на $(x-\alpha)^{k+1}.$
Задача
Является ли число 2 корнем многочлена $f(x)=x^5-5x^4+3x^3+22x^2-44x+24$, и если является — то какой кратности?
Решение
С помощью схемы Горнера определим делится ли $f(x)$ на $(x-2)$. Имеем:
| 1 | -5 | 3 | 22 | -44 | 24 | |
| 2 | 1 | -3 | -3 | 16 | -12 | 0 |
Остаток при делении $f (x)$ на $(х-2)$ равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена $f (x)$. Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:
| 1 | -5 | 3 | 22 | -44 | 24 | |
| 2 | 1 | -3 | -3 | 16 | -12 | 0 |
| 2 | 1 | -1 | -5 | 6 | 0 | |
| 2 | 1 | 1 | -3 | 0 | ||
| 2 | 1 | 3 | 3 |
Видно, что $f (x)$ делится на $(х-2)^ 3$, т.е. $f (x) = (x-2)^ 3 (x^2+x-3)$, но не делится на $(х-2)^ 4$. А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена $f(x)$.
Число $\alpha$ является корнем кратности $k$ многочлена $f(x)$
тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
$$f(x)=0, \;
\frac{df}{dx}(\alpha)=0,…,
\frac{d^{k-1}f}{dx^{k-1}}(\alpha)=0, \;
\frac{d^kf}{dx^k}(\alpha)\ne0.
$$
Задача
Найти все значения параметра $m$, при которых многочлен $f(x)=x^4-4m^3x+48$ имеет корень кратности 2.
Решение
$$
\left\{
\begin{array}{l l}
f(x)=x^4-4m^3+48=0, \\
\frac{df}{dx}=4x^3-4m^3=0, \\
\frac{d^2f}{dx^2}=12x^2\ne0.
\end{array}
\right.
$$
$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
x=m,\\
x\ne0,
\end{array}
\right.$$
$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
m\ne0,
\end{array}
\right.$$
$$\left\{
\begin{array}{}
m=2, \\
m=-2.
\end{array}
\right.
$$
Ответ: $\pm$2.
Литература
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.143-147.
Тест
Необходимо определить при каком условии число является корнем заданной кратности.
Таблица лучших: Кратность корней
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||