Операции на множествах
1. Объединение
Объединение двух множеств:
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B ,$ тогда их объединением называется множество $latex A\cup{} B, $ содержащее в себе все элементы
исходных множеств:
$latex A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\} $
Объединение более чем двух множеств:
Пусть дано семейство множеств $latex \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A, $ тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:
$latex \bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha $ $latex = \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\} $
Пересечение
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их пересечением называется множество $latex A\cap{} B $, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:
$latex A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\} $
3.Разность
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их разностью называется множество $latex A \setminus B $, содержащее в себе элементы $latex A $, но не $latex B $ :
$latex A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\} $
4.Симметрическая разность
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B, $ тогда их симметрической разностью называется множество $latex A \Delta B $, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
$latex A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $
5.Дополнение
Пусть дано множество $latex A, $ его дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
$latex \overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\} $
Свойства операций
Пусть $latex A, $ $latex B, $ $latex C $ — произвольные множества, тогда:
1. Операция объединение множеств коммутативна:
$latex A \cup B = B \cup A $
2. Операция объединение множеств ассоциативна:
$latex (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $
3. Операция пересечение множеств коммутативна:
$latex A \cap B = B \cap A $
4. Операция пересечения множеств ассоциативна:
$latex (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $
5. $latex (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C) $
6. $latex (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C) $
7. $latex C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B) $
8. $latex C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B) $
9. $latex C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B) $
10. $latex A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B) $
11. Симметрическая разность коммутативна:
$latex A \Delta B = B \Delta A $
12. Симметрическая разность ассоциативна:
$latex ( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C) $
Примеры
1. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, $ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, $тогда
$latex A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}.$
2. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} $, $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\}, $ тогда
$latex A \cap B = \left\{ 3, 4 \right\}. $
3. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, $ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, $ тогда
$latex A \setminus B = \left\{ 1, 2, 3 \right\}, $ $latex B \setminus A = \left\{ 5, 6, 7 \right\}. $
4. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}, $ $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6, 7 \right\}, $ тогда
$latex A \Delta B = \left\{ 1, 2, 6, 7 \right\}. $
Литература:
- Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
- В.В.Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, (Стр. 34-37)
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 39-42)
Операции на множествах. Свойства операций.
Тестовые вопросы по выше изложенному материалу