Примеры интегрирования рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

 

1) Найти интеграл \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}

Подсказка: используйте подстановку        \tan \frac{x}{2}=t

Спойлер

\small \inline \dpi{100} \fn_jvn \Delta Подынтегральная функция рационально зависит от  \sin x  и  \cos x; применим подстановку \tan \frac{x}{2}=t,

тогда  \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}} ;  \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} ;  dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}       и

\int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}= \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=

=2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=  \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}= =-\frac{1}{t+2}+C .

Возвращаясь к старой переменной, получим

\int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C   \blacktriangle

[свернуть]

 

 

2) Найти интеграл \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x} .

Подсказка : используйте замену   \cos x=t   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

Спойлер

\triangle Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем \cos x=t.

Отсюда    \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.

Таким образом :

\int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=

=\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=

=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.

Следовательно:

\int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .          \blacktriangle

[свернуть]

 

 

3) Найти интеграл \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx

Подсказка: используйте подстановку    t=2+3\sinh x  

Спойлер

\triangle Сделаем подстановку t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx. Тогда \cosh xdx=\frac{dt}{3}. Следовательно, интеграл равен

\int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.       \blacktriangle

[свернуть]

 

 

4) Найти интеграл \int \sinh ^{3}xdx
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

Спойлер

\triangle Поскольку \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1, и, следовательно, \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1, интеграл можно переписать в виде

\mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx

Делая замену t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx, получаем

\mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=

=\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C \blacktriangle

[свернуть]

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x=2\arctan t    или  \tan \frac{x}{2}=t .

 

Интегралы вида \int R(\sin x, \cos x)dx   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   t=\tan \frac{x}{2}    в указанные интегралы получаем:

\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}} ;       \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} , где    dx=\frac{2dt}{1+t^{2}} .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} ;       \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1 ;
  • \sinh 2x=2\sinh \cosh ;
  • \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

t=e^{x} ;           x=\ln t ;           dx=\frac{dt} {t} .

 

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от \sin x, \cos x и \sinh x, \cosh x»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных