Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q[/latex] для [latex]n=1[/latex] и [latex]n=2[/latex].

[latex]n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}[/latex]
[latex]n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}[/latex]

Таким образом [latex]\forall n[/latex] будет справедливо неравенство [latex]a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}[/latex]. При этом ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1}[/latex] является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] тоже сходится.

Если [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то справедливо неравенство [latex]a_{n+1}\geq a_{n}>0[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{1-K}{2}[/latex], тогда [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex] и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же [latex]K>1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{K-1}{2}[/latex], тогда [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится. Для случая [latex]K=1[/latex] приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/latex] расходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1[/latex]. В то же время ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}[/latex] сходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1[/latex].

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}[/latex]. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}\geq 0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Пусть [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}[/latex]. Так как [latex]0<q<1[/latex], то ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}[/latex] будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] так же является сходящимся.

Если [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}\geq 0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex]  и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же  [latex]K>1[/latex], то [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся  признаком Коши в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак сравнения

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]    [latex](A)[/latex]
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…[/latex]    [latex](B)[/latex]

Если, начиная с какого-то номера [latex]N\varepsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>N[/latex] выполняется неравенство [latex]0\leq a_{n}\leq b_{n}[/latex], тогда:

  1. Из сходимости ряда [latex](B)[/latex] следует сходимость ряда [latex](A)[/latex].
  2. Из расходимости ряда [latex](A)[/latex] следует расходимость ряда [latex](B)[/latex].

Доказательство

  1. [latex](A)[/latex] и [latex](B)[/latex] — ряды с неотрицательными членами. Частичные суммы рядов [latex](A)[/latex] и [latex](B)[/latex] обозначим как [latex]S_{n}^{(A)}[/latex] и [latex]S_{n}^{(B)}[/latex]. Из условия [latex]0\leq a_{n}\leq b_{n}[/latex] можно сказать, что [latex]S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}[/latex]. Пусть ряд [latex](B)[/latex] сходится, тогда, согласно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами, его частичные суммы [latex]S_{n}^{(A)}[/latex] ограничены, а значит [latex]S_{n}^{(B)}[/latex] также будут ограничены ([latex]S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}[/latex]). Тогда по вышеупомянутому критерию ряд [latex](B)[/latex] тоже будет сходиться.
  2. Пусть ряд [latex](A)[/latex] расходится. Докажем методом от противного. Предположим что ряд [latex](B)[/latex] сходится. Тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд [latex](A)[/latex] тоже должен сходиться, что противоречит условию. Значит ряд [latex](B)[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]    [latex](A)[/latex]
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…[/latex]    [latex](B)[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=K[/latex]      [latex]0<K< +\infty[/latex]

Тогда:

  1. Если ряд [latex](B)[/latex] сходится и [latex]K<+\infty[/latex], то ряд [latex](A)[/latex] сходится.
  2. Если ряд [latex](B)[/latex] расходится и [latex]K>0[/latex], то ряд  [latex](A)[/latex] расходится.

Доказательство

  1. Пусть ряд [latex](B)[/latex] сходится и [latex]K< +\infty[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Из неравенства получим: [latex]a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon )[/latex]. Ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon )[/latex] сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда [latex](B)[/latex] на постоянное число [latex]K+\varepsilon[/latex]. Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex](A)[/latex] сходится.
  2. Если ряд [latex](B)[/latex] расходится и [latex]K>0[/latex], тогда отношение [latex]\frac{b_{n}}{a_{n}}[/latex] имеет конечный предел [latex]\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty[/latex]. Предположим что ряд [latex](A)[/latex] сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд [latex](B)[/latex] тоже сходится, что противоречит условию. Значит [latex](A)[/latex] расходится.

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.

Для определения характера сходимости будем использовать признак сравнения. Попробуем оценить данный ряд сверху.

[latex]\frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}} \leq \frac{5*2}{n\tfrac{3}{2}}=O(\frac{1}{n\tfrac{3}{2}})[/latex]

Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}[/latex] сходится при [latex]\alpha >1[/latex].

[latex]\frac{3}{2}>1[/latex] значит полученный ряд сходится, а значит сходится и исходный.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим числовой ряд с бесконечным множеством положительных и бесконечным множеством отрицательных членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом.

Запишем произвольный знакопеременный ряд
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(1)$,
где числа $a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$ являются как положительными, так и отрицательными, причем располагаются они в ряде произвольно. Так же рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ $(2)$.
Для знакопеременных рядов справедлива следующая Теорема:

Теорема 1

Если ряд $(2)$ сходится, то сходится и ряд $(1)$.

Доказательство

Предположим, что ряд $(2)$ сходится. Обозначим через $S_{n}$ частичную сумму ряда $(1)$, а через $\sigma_{n}$ частичную сумму ряда  $(2)$. Тогда: $S_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$;

$\sigma_{n} = |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|$. Так как ряд  $(2)$ сходится, то последовательность его частичных сумм ${\sigma_{n}}$ имеет предел $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sigma_{n}=\sigma$, при этом для любого $n$ справедливо неравенство

$\sigma_{n}\leq\sigma$ $(3)$,
Поскольку члены ряда  $(2)$ неотрицательны.
Обозначим через $S{}’_{n}$ сумму положительных членов, а через $S{}»_{n}$ сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме $S_{n}$.
Тогда
$S_{n}=S{}’_{n}-S{}»_{n}$ $(4)$,
$\sigma_{n}=S{}’_{n}+S{}»_{n}$ $(5)$.
Видно, что последовательности ${S{}’_{n}}$ и ${S{}»_{n}}$ не убывают, а из равенства $(5)$ и неравенства $(3)$ следует, что они являются ограниченными: $S{}’_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ и $S{}»_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$. Следовательно, существуют $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}=S{}’$ и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}_{n}»=S{}»$. Но в таком случае, в силу равенства $(4)$, последовательность частичных сумм ряда $(1)$ имеет предел
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }(S{}’_{n}-S{}»_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}»_{n}=S{}’-S{}»$.

Это означает, что ряд $(1)$ сходится. $\blacksquare$

Пример 1

Ряд $1-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+…$ согласно доказанной Теореме 1 сходится, т. к. сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+…$
Ниже представлен график поведения первых двадцати, составленных из абсолютных величин, членов ряда
Пример 1(абсолют.сход.)
Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходим, т. к. существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}-1^{n+1}\frac{1}{n}$ согласно признаку Лейбница сходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

Ряд с действительными или комплексными членами $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется абсолютно сходящимся, если сходиться ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$.

Ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется условно сходящимся, если этот ряд сходиться, а ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ расходиться.

Спойлер

Пример 2

Ряд $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ условно сходящийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ расходится.
Можно заметить, что свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов имеют некоторые отличия. Так, например, в условно сходящихся рядах, сумма ряда не равна сумме положительных и отрицательных членов ряда, но для абсолютно сходящихся это свойство справедливо, что можно было увидеть при доказательстве Теоремы 1.

[свернуть]

Абсолютная и условная сходимость рядов

Предлагаем Вам пройти тест на тему «Абсолютная и условная сходимость рядов».


Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных