Если $\lim_{x\rightarrow a }f(x)=0$, то функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x\rightarrow a$.

Свойства

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при $x\rightarrow a$ есть бесконечно малая функция при $x\rightarrow a$

Доказательство
Пусть $f_{1}(x),f_{2}(x),..,f_{n}(x)$ бесконечно малые функции при $x\rightarrow a$. Тогда существуют числа $\delta _{1},\delta _{2},..,\delta _{n}$ и число $\varepsilon >0$ такие что
$|x-a|<\delta _{1},|x-a|<\delta _{2},..,|x-a|<\delta _{n}$ (1)
что влечет за собой условия
$|f_{1}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},|f_{2}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},..,|f_{n}(x)|<\frac{\varepsilon }{n}$ (2).
Если $\delta =\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2};..;\delta _{n}\end{Bmatrix}$, то условие $|x-a|<\delta$ усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
$\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|\leqslant |f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|\\|f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|<\sum_{1}^{n}\frac{\varepsilon }{n}=\varepsilon\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|<\varepsilon$

2. Произведение бесконечно малой функции $f(x)$ на ограниченную $g(x)$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ есть бесконечно малая функция при $x\rightarrow a$

Доказательство
Так как функция $g(x)$ ограничена, то для $x$ удовлетворяющих условию
$|x-a|<\delta _{1}$ (1)
существует число
$C:|g(x)|<C$ (2)
Так как функция $f(x)$ бесконечно малая, то существует некоторая окрестность $\delta _{2}$ и число
$\varepsilon >0$ для которых выполняются условия
$|x-a|<\delta _{2}$ (3)
и
$|f(x)|<\frac{\varepsilon}{C}$ (4)
Выберем $\delta=\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2}\end{Bmatrix}$. Тогда условие $|x-a|<\delta$ более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
Следовательно $|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<\frac{\varepsilon }{C}C =\varepsilon$

3. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при $x\rightarrow a$ есть бесконечно малая функция при $x\rightarrow a$

Доказательство
Так как любая бесконечно малая функция $f(x)$ при $x\rightarrow a$ будет ограничена в некоторой $\delta$ окрестности точки $a$, то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →

Бесконечно малые последовательности

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность $\left \{ \alpha_{n} \right \}$ называется бесконечно малой, если $\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\alpha_{n} =0$, т.е. $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\varepsilon$.

Геометрическая интерпретация

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
2. Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
4. Если элементы бесконечно малой последовательности $\left\{\alpha_{n}\right\}$ равны одному и тому же числу $C$, то $C=0$.

Доказательство.

1.  Пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — бесконечно малая последовательность, $\varepsilon$ — некоторое положительное число. Пусть $N$ — номер, такой, что $\forall n \geqslant N \; \left|\alpha_{n}\right|<\varepsilon$. Обозначим $\max \left \{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right \}$ числом A. Получим:$\forall\varepsilon>0 \;\exists A=\max\left\{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right\}:\forall n\in\mathbb{N}\; \left|\alpha_{n}\right|<A$, что и означает, что последовательность ограничена.
2. Пусть $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ и $\left\{ \beta_{n} \right\}$ — бесконечно малые последовательности. Пусть $\varepsilon$ — произвольное положительное число, $N_{1}$ — номер, начиная с которого $\left|\alpha_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2}$, а $N_{2}$ — номер, начиная с которого $\left|\beta_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2}$. Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей $\left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|\leq \left|\alpha_{n}\right|+\left|\beta_{n}\right|$. Обозначим через $N$ наибольший из номеров <$N_{1}$ и $N_{2}$. Получим: $\forall \varepsilon>0\;\exists N\; \forall n\geq N \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|<\varepsilon$, что означает, что последовательность $\left\{\alpha_{n}+\beta_{n}\right\}$ — бесконечно малая.
3. Пусть последовательность $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ — бесконечно малая, а $\left\{ x_{n} \right\}$ — ограниченная. По определению,  $\exists\, c>0:\forall n\in \mathbb{N} \left|x_{n}\right|<c$ и $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\frac{\varepsilon}{c}$. По свойству модулей, $\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|=\left|\alpha_{n}\right|\cdot\left|x_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon$. Получили:$\forall\,\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\:\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|<\varepsilon$, а это означает по определению, что последовательность $\left\{\alpha_{n}\cdot x_{n}\right\}$  — бесконечно малая.
   Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
4. Пусть $C\neq 0$. Тогда для $\varepsilon=\frac{\left|C\right|}{2}\;\;\exists N: \forall n\geq N \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\left|C\right|}{2}$. По условию, $\alpha_{n}=C$, тогда $C<\frac{\left|C\right|}{2}$. Получили противоречие, следовательно, $C=0$.

Примеры

1. Последовательность $\frac{1}{n}$ — бесконечно малая, т.к. $\forall\varepsilon>0\;\;\exists N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1:\;\forall n\geq N\;\;\frac{1}{n}<\varepsilon$.
2. $\frac{\sin n}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sin n$  — бесконечно малая, т.к. $\sin n$ — ограниченная, а $\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0$.
3. $\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}=\frac{1}{n}\cdot\left(-1 \right )^{n}$ — бесконечно малая, т.к.$\left(-1 \right )^{n}$  — ограниченная, а $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
4. $\sin\frac{1}{n}$ — бесконечно малая при $n\rightarrow\infty$, т.к. $\forall\varepsilon>0\;\sin\frac{1}{n}<\varepsilon$ при $n>\frac{1}{\arcsin{\varepsilon}}$.
5. $\frac{n}{n^2+1}$ — бесконечно малая, т.к. $\frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$, которая является бесконечно малой.

Бесконечно малые последовательности и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

• Спасибо за прохождение теста!

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Любая бесконечно малая последовательность

   • ограничена
   • неограничена
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   $\lim\limits_{n \to \infty } \frac{100*n^2}{n^3+1}=$

   • $$0$$
   • $$1$$
   • $$\infty$$
   • $$- \infty$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить последовательности и их $\lim\limits_{n \to \infty }:$

   Элементы сортировки

   • $$0$$
   • $$1$$
   • $$\infty$$

   • $$\frac{1}{n^2}$$

   • $$1 + sin\frac{12n^2+144n+17}{n^3}$$

   • $$n+tg \frac{1}{n}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, часть 1, М.:Наука, 1982. стр. 60-63.
• Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.М., 1969. стр. 14-17
• Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях
• Свойства бесконечно малых последовательностей