Бесконечно малые функции

Если [latex]\lim_{x\rightarrow a }f(x)=0[/latex], то функция [latex]f(x)[/latex] называется бесконечно малой при [latex]x\rightarrow a[/latex].

Свойства

  1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при [latex]x\rightarrow a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]
  2. Доказательство
    Пусть [latex]f_{1}(x),f_{2}(x),..,f_{n}(x)[/latex] бесконечно малые функции при [latex]x\rightarrow a[/latex]. Тогда существуют числа [latex]\delta _{1},\delta _{2},..,\delta _{n}[/latex] и число [latex]\varepsilon >0[/latex] такие что
    [latex]|x-a|<\delta _{1},|x-a|<\delta _{2},..,|x-a|<\delta _{n}[/latex] (1)
    что влечет за собой условия
    [latex]|f_{1}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},|f_{2}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},..,|f_{n}(x)|<\frac{\varepsilon }{n}[/latex] (2).
    Если [latex]\delta =\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2};..;\delta _{n}\end{Bmatrix}[/latex], то условие [latex]|x-a|<\delta [/latex] усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
    [latex]\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|\leqslant |f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|\\|f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|<\sum_{1}^{n}\frac{\varepsilon }{n}=\varepsilon\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|<\varepsilon [/latex]

  3. Произведение бесконечно малой функции [latex]f(x)[/latex] на ограниченную [latex]g(x)[/latex] в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]
  4. Доказательство
    Так как функция [latex]g(x)[/latex] ограничена, то для [latex]x[/latex] удовлетворяющих условию
    [latex]|x-a|<\delta _{1}[/latex] (1)
    существует число
    [latex]C:|g(x)|<C[/latex] (2)
    Так как функция [latex]f(x)[/latex] бесконечно малая, то существует некоторая окрестность [latex]\delta _{2}[/latex] и число
    [latex]\varepsilon >0[/latex] для которых выполняются условия
    [latex]|x-a|<\delta _{2}[/latex] (3)
    и
    [latex]|f(x)|<\frac{\varepsilon}{C}[/latex] (4)
    Выберем [latex]\delta=\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2}\end{Bmatrix}[/latex]. Тогда условие [latex]|x-a|<\delta [/latex] более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
    Следовательно [latex]|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<\frac{\varepsilon }{C}C =\varepsilon [/latex]

  5. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при [latex]x\rightarrow a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]
  6. Доказательство
    Так как любая бесконечно малая функция [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] будет ограничена в некоторой [latex]\delta [/latex] окрестности точки [latex]a[/latex], то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →

Бесконечно малые последовательности и их свойства

Бесконечно малые последовательности

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность $latex \left \{ \alpha_{n} \right \} $ называется бесконечно малой, если $latex \lim\limits_{n \rightarrow \infty }\alpha_{n} =0 $, т.е. $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\varepsilon $.

Геометрическая интерпретация

E-okr01

Свойства бесконечно малых последовательностей

  1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
  2. Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
  4. Если элементы бесконечно малой последовательности $latex \left\{\alpha_{n}\right\} $ равны одному и тому же числу $latex C $, то $latex C=0 $.

Доказательство.

  1.  Пусть $latex \left\{ \alpha_{n}\right\} $ — бесконечно малая последовательность, $latex \varepsilon $ — некоторое положительное число. Пусть $latex N $ — номер, такой, что $latex \forall n \geqslant N \; \left|\alpha_{n}\right|<\varepsilon $. Обозначим $latex \max \left \{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right \} $ числом A. Получим:$latex \forall\varepsilon>0 \;\exists A=\max\left\{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right\}:\forall n\in\mathbb{N}\; \left|\alpha_{n}\right|<A $, что и означает, что последовательность ограничена.
  2. Пусть $latex \left\{ \alpha_{n} \right\} $ и $latex \left\{ \beta_{n} \right\} $ — бесконечно малые последовательности. Пусть $latex \varepsilon $ — произвольное положительное число, $latex N_{1} $ — номер, начиная с которого $latex \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} $, а $latex N_{2} $ — номер, начиная с которого $latex \left|\beta_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} $. Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей $latex \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|\leq \left|\alpha_{n}\right|+\left|\beta_{n}\right| $. Обозначим через $latex N $ наибольший из номеров <$latex N_{1} $ и $latex N_{2} $. Получим: $latex \forall \varepsilon>0\;\exists N\; \forall n\geq N \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|<\varepsilon $, что означает, что последовательность $latex \left\{\alpha_{n}+\beta_{n}\right\} $ — бесконечно малая.
  3. Пусть последовательность $latex \left\{ \alpha_{n} \right\} $ — бесконечно малая, а $latex \left\{ x_{n} \right\} $ — ограниченная. По определению,  $latex \exists\, c>0:\forall n\in \mathbb{N} \left|x_{n}\right|<c $ и $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\frac{\varepsilon}{c} $. По свойству модулей, $latex \left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|=\left|\alpha_{n}\right|\cdot\left|x_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon $. Получили:$latex \forall\,\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\:\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|<\varepsilon $, а это означает по определению, что последовательность $latex \left\{\alpha_{n}\cdot x_{n}\right\} $  — бесконечно малая.
    Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  4. Пусть $latex C\neq 0 $. Тогда для $latex \varepsilon=\frac{\left|C\right|}{2}\;\;\exists N: \forall n\geq N \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\left|C\right|}{2} $. По условию, $latex \alpha_{n}=C $, тогда $latex C<\frac{\left|C\right|}{2} $. Получили противоречие, следовательно, $latex C=0 $.

Примеры

  1. Последовательность $latex \frac{1}{n} $ — бесконечно малая, т.к. $latex \forall\varepsilon>0\;\;\exists N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1:\;\forall n\geq N\;\;\frac{1}{n}<\varepsilon $.
  2. $latex \frac{\sin n}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sin n $  — бесконечно малая, т.к. $latex \sin n $ — ограниченная, а $latex \lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 $.
  3. $latex \frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}=\frac{1}{n}\cdot\left(-1 \right )^{n} $ — бесконечно малая, т.к.$latex \left(-1 \right )^{n} $  — ограниченная, а $latex \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 $.
  4. $latex \sin\frac{1}{n} $ — бесконечно малая при $latex n\rightarrow\infty $, т.к. $latex \forall\varepsilon>0\;\sin\frac{1}{n}<\varepsilon $ при $latex n>\frac{1}{\arcsin{\varepsilon}} $.
  5. $latex \frac{n}{n^2+1} $ — бесконечно малая, т.к. $latex \frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} $, которая является бесконечно малой.

Бесконечно малые последовательности и их свойства

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Литература: