Пусть заданы последовательность функций fn(x)∈C,n=1,2,… и функция f, определенные на множестве X. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции f равномерно на множестве X, если для любого ε>0 существует такой номер nε, что если n>nε, то для всех x∈X выполняется неравенство |fn(x)—f(x)|<ε.
Последовательность fn(x)∈C,n=1,2,… называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на X.
Очевидно, что если последовательность fn(x)∈C,n=1,2,… равномерно сходится к функции f на множестве X, то она и просто сходится к этой функции на X.
Если последовательность {fn} сходится на множестве X к функции f, то символически будем записывать это так: fn→xf.
Если же эта последовательность равномерно сходится на X к функции f, то будем писать: fn→→xf.
Заметим, что если последовательность fn(x)∈C,n=1,2,… просто сходится к функции f на множестве X, то это означает, что для любого ε>0 и любого x∈X существует номер n0=n0(ε,x), зависящий как от ε, так и от x, такой, что для всех номеров n>n0 имеет место неравенство |fn(x)—f(x)|<ε.
Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого ε>0 можно выбрать такой номер n>nε, зависящий только от заданного ε и не зависящий от выбора точки x∈X, что при n>nε неравенство |fn(x)—f(x)|<ε будет выполняться всюду на множестве X, т.е. «графики» функций fn расположены в «ε — полоске» , окружающей график функции f(рис. 1).
Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого ε>0 при всех достаточно больших n(а именно при n>nε) значение функций fn приближают функцию f с погрешностью, меньшей ε, сразу на всем множестве X.
Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве X последовательностей с помощью символов существования и всеобщности:
Пример
Последовательность 1,x,x2,…,xn,… на отрезке [0,q],0<q<1, сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если 0≤x≤q то 0≤xn≤qn,n=1,2,….
Так как limn→∞qn=0, то для любого фиксированного ε>0 существует такое nε, что qnnε. В силу неравенства 0≤xn≤qn,n=1,2,…, 0≤xnnε и всех x∈[0,q].
Теорема
Последовательность функций {fn}, определенных на множестве X, равномерно сходится на этом множестве к функции f в том и только том случае, когда limn→∞supx∈X|fn(x)—f(x)|=0.
Доказательство
Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого ε>0 существует такой номер nε, что для всех n>nε и всех x∈X выполняется неравенство |fn(x)—f(x)|nε будем иметь supx∈X|fn(x)—f(x)|≤ε2<ε, а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия limn→∞supx∈X|fn(x)—f(x)|=0.
Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из ˉR, для любого ε>0 существует такой номер nε, что для всех n>nε выполняется неравенство supx∈X|fn(x)—f(x)|<ε.
Отсюда следует, что для всех n>nε и всех x∈X справедливо неравенство |fn(x)—f(x)|<ε, т.е. выполняются условия определения.
В силу того, что почти все члены последовательностей верхних граней supx∈X|fn(x)—f(x),n=1,2,…|, для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий limn→∞supx∈X|fn(x)—f(x)|=0, по существу, сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности.
Список литературы:
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр.67
- Тер — Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 408
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2
Тест по теме «Равномерная сходимость функциональных последовательностей»
Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
