Таблица Кэли

Пусть [latex]\mathbb A_{n}=\left \{ a_{1},a_{2},…,a_{n}\right \}[/latex] — конечное множество из [latex]n[/latex] элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией [latex]*[/latex] так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:

[latex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \rule {0cm}{0.8cm} {\large \;\;\;*\;\;\;} & \large {\textit a_{1}} & \large {\textit a_{2}} & {\large \ldots} & \large {\textit a_{n}} \\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{1}} & a_{1}*a_{1} & a_{1}*a_{2} & \ldots & a_{1}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{2}} & a_{2}*a_{1} & a_{2}*a_{2} & \ldots & a_{2}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \rule{ 0cm}{0.8cm} \large {\textit \vdots} & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{n}} & a_{n}*a_{1} & a_{n}*a_{2} & \ldots & a_{n}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \end{array}[/latex]

Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:

  • Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то [latex]*[/latex] — коммутативна.
  • Если [latex]i[/latex]-ая строка повторяет верхнюю строку и [latex]i[/latex]-ый столбец повторяет левый столбец, то [latex]a_{i}[/latex] — нейтральный элемент.
  • Если каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, то для каждого элемента из [latex]\mathbb A_{n}[/latex] существует симметричный.

Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.

Пример 1

Дано множество [latex]\mathbb A=\left \{1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}.[/latex] На этом множестве задана операция [latex]*[/latex] такая, что [latex] \forall \, a,b \in \mathbb A, a*b=\max(a,b).[/latex] Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:

Спойлер

Построим таблицу Кэли:

[latex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \ {*} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 7 & 8\\ \hline 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 8 \\ \hline 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ \hline \end{array}[/latex]

  • Таблица симметрична относительно главной диагонали, значит операция [latex]*[/latex] — коммутативна.
  • Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит 1 — нейтральный элемент.
  • Симметричный элемент существует только для 1.
  • Можем сделать вывод, что [latex]\left (\mathbb A,* \right )[/latex] не является группой.

[свернуть]

Пример 2

Дано множество преобразований правильного треугольника [latex]\mathbb B=\left \{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} \right \},[/latex] переводящих треугольник в самого себя.
[latex]\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2}[/latex] — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы [latex]0, \frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}[/latex] вокруг точки [latex]O.[/latex]
[latex]\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5}[/latex] — симметрия относительно осей [latex]m, l, p[/latex]
simtriangle
Построить таблицу Кэли и показать, что [latex]\left (\mathbb B,\circ \right )[/latex] — группа:

Спойлер

Каждое преобразование представим в виде подстановки:

[latex]\varphi _{0}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & B & C\end{pmatrix}[/latex] [latex]\varphi _{1}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & C & A\end{pmatrix}[/latex] [latex]\varphi _{2}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & A & B\end{pmatrix}[/latex] [latex]\varphi _{3}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & A & C\end{pmatrix}[/latex] [latex]\varphi _{4}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & B & A\end{pmatrix} [/latex] [latex]\varphi _{5}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & C & B\end{pmatrix}[/latex]

Составим таблицу Кэли:

[latex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \ {\circ} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \hline \varphi _{0} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \hline \varphi _{1} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{4} & \varphi _{5} & \varphi _{3} \\ \hline \varphi _{2} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{5} & \varphi _{3} & \varphi _{4}\\ \hline \varphi _{3} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{0} & \varphi _{2} & \varphi _{1}\\ \hline \varphi _{4} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{1} & \varphi _{0} & \varphi _{2} \\ \hline \varphi _{5} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{2} & \varphi _{1} & \varphi _{0} \\ \hline \end{array}[/latex]

  • Таблица несимметрична относительно главной диагонали, значит операция композиции подстановок — некоммутативна.
  • Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит [latex]\varphi _{0}[/latex]- нейтральный элемент.
  • Каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, значит для каждого элемента из множества существует симметричный.
  • Композиция подстановок — ассоциативна.
  • Следовательно, [latex]\left (\mathbb B,\circ \right )[/latex] является группой.

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
  3. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113

Тест


Таблица лучших: Таблица Кэли

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных