Метка: теорема о вложенных сегментах

Формулировка

Пусть дана система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$$latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ), $$latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2… $ , тогда $latex \exists \ c \in \mathbb{R} : \forall \ n \in \mathbb{N}, c\in I_{n} $, то есть $latex c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} $. Причём, если $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то такая точка одна.

Доказательство

Существование:

Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$ $latex A=\left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty},B=\left \{ b_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} $. Возьмём два числа $latex n,m\in \mathbb{N} $:

1. $latex n=m\Rightarrow a_{n}<b_{m} $ (по определению сегмента);
2. $latex n
3. $latex n>m \Rightarrow a_{n}\leq b_{n}\leq …\leq b_{m+1}\leq b_{m} $

Таким образом $latex \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m} $. Тогда по аксиоме непрерывности: $latex \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n} $.

Единственность:

Предположим противное,пусть существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ то есть:

$latex \forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c’\in I_{n} $ . Так, как $latex c\neq {c}’$, то либо $latex c<{c}’ $ либо $latex c>{c}’ $.

Не ограничивая общности, предположим, что $latex c<{c}’ $.

Тогда мы имеем: $latex \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c’\leq b_{n} $. То есть $latex 0<c-{c}'<b_n-a_n$. Так, как$latex \underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}’-c\leq 0\Rightarrow $$latex {c}’-c=0\Rightarrow c={c}’ $.

Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ неверно, значит $latex \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.$

Замечание:

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.

В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов $latex (0,\frac{1}{n})$ не имеет общих точек,поскольку $latex \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing $

Пример:

1. Доказать, что если система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$$latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ), $$latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2…\ ,$ причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

   Спойлер

   Исходя из доказательства теоремы Коши-кантора, а именно из того, что $latex \exists ! \ c \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m} $, следовательно $latex c=\sup \{a_n\}=\inf \{b_n\}$ по определению точных верхней и нижней грани. Вычтем $latex a_n$ из неравенства, и по теореме о трех последовательностях получим: $latex \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq c-a _{n} \leq \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{b_n-a_n}}}$, следовательно, по теореме о сходящейся последовательности, имеем $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=c$. Доказательство для последовательности $latex \left \{ b_{n} \right \} _{n=1}^{\infty}$ проводится аналогично.

   Доказано, что обе последовательности сходящиеся и выполняется следующие равенство: $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

   [свернуть]

2. Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве $latex \mathbb{Q}$.

   Спойлер

   Возьмём множество рациональных чисел $latex \mathbb{Q}$, как известно, $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}$. Рассмотрим последовательность отрезков: $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} = $$latex \left \{ \right. \left [ 1;2 \right ],\left [ 1.7;1.8 \right ],\left [ 1.73;1.74 \right ],… \left. \right \},$ построим её так, чтобы концы этих отрезков были десятичные приближения иррационального числа $latex \sqrt{3}$ с недостатком в нижней границе и избытком в верхней границе, с разностью $latex 1/10^n,\ n \in \mathbb{N} .$ По предыдущей теореме мы знаем, что $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c$ (пределы нижних и верхних границ совпадают с единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам). Также ясно, что пределы наших верхних и нижних границ стремятся к $latex \sqrt{3},$ однако $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}.$ Доказано, что на множестве, которое не является полным, теорема Коши-Кантора не выполняется.

   [свернуть]

Литература:

1. Вартанян Г. М. Математический анализ (стр. 10-15, 9)
2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1.-Одесса: Астропринт, 2009 (стр 20-21, 28-29)
3. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.54 )

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 30 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 5

   
   

   Каким условиям накладываются на множество, чтобы на нём выполнялась теорема Коши-Кантора?

   • Полнота
   • Коммутативность относительно операции сложения
   • Любое множество
   • Конечность
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 10

   
   

   Заполните пропуски в формулировке теоремы Кантора о вложенных отрезках.

   • Если последовательность сегментов (отрезков) (стягивающаяся, является стягивающейся, сходящаяся, сходится, стягивается) , то существует точка С принадлежащая всем отрезкам, причем (единственная, только одна, одна, 1).
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 5

   
   

   Какие условия должны выполнятся, чтобы последовательность отрезков [latex]I_{n}=[a_{n},b_{n}][/latex], называлась сходящейся?

   • $ \forall n\in \mathbb{N} : I_{n+1}\subset I_{n}: $ $ a_{1} \leq a_{2} \leq ... $ $ \leq a_{n} \leq a_{n+1} \leq ... $ $ \leq b_{n+1} \leq b_{n} \leq ... $ $ \leq b_{2} \leq b_{1}$
   • $ \underset {n \to \infty }{ \lim } \left ( {b_n}-{a_n} \right )=0$
   • $ \underset {n \to \infty }{ \lim } \left ( {b_n}-{a_n} \right )= \infty $
   • $ \forall n\in \mathbb{N} : I_{n+1}\subset I_{n}: $ $ a_{1} < a_{2} < ... $ $ < a_{n} < a_{n+1} \leq ... $ $ < b_{n+1} < b_{n} < ... $ $ < b_{2} < b_{1}$
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   
   

   Можно ли заменить в формулировке теоремы отрезки (сегменты) на открытые интервалы?

   Подсказка

   Необходимо вспомнить замечание к теореме и рассмотреть случай, когда $latex I_{n}=(0,\frac{1}{n})$.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   
   

   В какой части доказательства теоремы мы опирались на аксиому непрерывности?

   • существование
   • единственность
   • мы опирались на теорему о существовании точной верхней и нижней граней
   • мы опирались на другую теорему