Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках



Формулировка

Пусть дана система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$$latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ), $$latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2… $ , тогда $latex \exists \ c \in \mathbb{R} : \forall \ n \in \mathbb{N}, c\in I_{n} $, то есть $latex c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} $. Причём, если $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то такая точка одна.


Стягивающаяся последовательность

Доказательство

Существование:

Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$ $latex A=\left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty},B=\left \{ b_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} $. Возьмём два числа $latex n,m\in \mathbb{N} $:

  1. $latex n=m\Rightarrow a_{n}<b_{m} $ (по определению сегмента);
  2. $latex n
  3. $latex n>m \Rightarrow a_{n}\leq b_{n}\leq …\leq b_{m+1}\leq b_{m} $

Таким образом $latex \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m} $. Тогда по аксиоме непрерывности: $latex \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n} $.

Единственность:

Предположим противное,пусть существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ то есть:

$latex \forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c’\in I_{n} $ . Так, как $latex c\neq {c}’$, то либо $latex c<{c}’ $ либо $latex c>{c}’ $.

Не ограничивая общности, предположим, что $latex c<{c}’ $.

Тогда мы имеем: $latex \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c’\leq b_{n} $. То есть $latex 0<c-{c}'<b_n-a_n$. Так, как$latex \underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}’-c\leq 0\Rightarrow $$latex {c}’-c=0\Rightarrow c={c}’ $.

Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ неверно, значит $latex \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.$

Замечание:

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.

В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов $latex (0,\frac{1}{n})$ не имеет общих точек,поскольку $latex \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing $

Пример:

  1. Доказать, что если система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$$latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ), $$latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2…\ ,$ причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

    Спойлер

    Исходя из доказательства теоремы Коши-кантора, а именно из того, что $latex \exists ! \ c \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m} $, следовательно $latex c=\sup \{a_n\}=\inf \{b_n\}$ по определению точных верхней и нижней грани. Вычтем $latex a_n$ из неравенства, и по теореме о трех последовательностях получим: $latex \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq c-a _{n} \leq \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{b_n-a_n}}}$, следовательно, по теореме о сходящейся последовательности, имеем $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=c$. Доказательство для последовательности $latex \left \{ b_{n} \right \} _{n=1}^{\infty}$ проводится аналогично.

    Доказано, что обе последовательности сходящиеся и выполняется следующие равенство: $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

    [свернуть]
  2. Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве $latex \mathbb{Q}$.

    Спойлер

    Возьмём множество рациональных чисел $latex \mathbb{Q}$, как известно, $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}$. Рассмотрим последовательность отрезков: $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} = $$latex \left \{ \right. \left [ 1;2 \right ],\left [ 1.7;1.8 \right ],\left [ 1.73;1.74 \right ],… \left. \right \},$ построим её так, чтобы концы этих отрезков были десятичные приближения иррационального числа $latex \sqrt{3}$ с недостатком в нижней границе и избытком в верхней границе, с разностью $latex 1/10^n,\ n \in \mathbb{N} .$ По предыдущей теореме мы знаем, что $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c$ (пределы нижних и верхних границ совпадают с единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам). Также ясно, что пределы наших верхних и нижних границ стремятся к $latex \sqrt{3},$ однако $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}.$ Доказано, что на множестве, которое не является полным, теорема Коши-Кантора не выполняется.

    [свернуть]

Литература:

  1. Вартанян Г. М. Математический анализ (стр. 10-15, 9)
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1.-Одесса: Астропринт, 2009 (стр 20-21, 28-29)
  3. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.54 )

Тест

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.


Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных