Формулы Эйлера

Запишем определение показательной функции комплексной переменной: $$e^{a+i\varphi}=e^a(\cos\varphi + i\sin\varphi);$$ при $a=0$, формула принимает следующий вид: $$e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi \quad — формула\:Эйлера.$$

Разложим $e^{i\varphi}$ в ряд Тейлора в окрестности точки $0$(ряд Маклорена): $$e^{i\varphi} = 1 + \frac{i\varphi}{1!} + \frac{(i\varphi)^2}{2!} + \frac{(i\varphi)^3}{3!} + \ldots \quad .$$ Зная, что $$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1,$$ перепишем наш ряд:$$e^{i\varphi} = 1 + \frac{i\varphi}{1!} -\frac{\varphi^2}{2!}
-\frac{i\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^4}{4!} + \frac{i\varphi^5}{5!} \ldots \quad .$$ Сгруппируем. Сначала запишем все чётные степени $\varphi$ и единицу, а затем все нечетные степени, из которых, предварительно, вынесем мнимую единицу $i$ за скобку. Таким образом, у нас получается: $$e^{i\varphi} = \underbrace{\left( 1 -\frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} -\frac{\varphi^6}{6!} + \ldots \right)}_{\cos\varphi} + i \underbrace{\left( \frac{\varphi}{1!} -\frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} -\frac{\varphi^7}{7!} + \ldots \right)}_{\sin\varphi}$$ Заметим, что первая скобка соответствует разложению функции $\cos\varphi,$ а вторая — $\sin\varphi$. В конечном итоге, имеем: $$e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi.$$ Что и требовалось доказать.

Из данной формулы можно выразить $\cos\varphi \;и\; \sin\varphi$. Для этого запишем саму формулу Эйлера, а так же формулу Эйлера от переменной $(-\varphi)$. Получаем систему:
\begin{equation*} \begin{cases} \cos\varphi + i \sin\varphi = e^{i \varphi} \\ \cos\varphi -i \sin\varphi = e^{-i \varphi} \end{cases} \end{equation*} Складываем и вычитаем данные выражения. В конечном итоге, имеем: $$\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2};$$ $$\sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} -e^{-i\varphi}}{2i};$$ Эти две формулы так же носят название «формулы Эйлера».

Заметим, что $\cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi}$.

Существует частный случай формулы Эйлера $(при \: \varphi = \pi)$. $$e^{i\pi} = \underbrace{\cos\pi}_{-1} + \underbrace{i\sin\pi}_{0}.$$ Перенесём $(-1)$ в левую часть с противоположным знаком и получим: $$e^{i\pi} + 1 =0.$$ Её называют самой красивой формулой в математике, так как в ней присутствуют самые важные постоянные из разных её областей. Таким образом, $0 \; и\; 1$ относятся к арифметике, $i$ (мнимая единица) — к алгебре, $\pi$ — к геометрии, $e$ — к математическому анализу.

Примеры решения задач

  1. Для комплексного числа в показательной форме $z = 10e^{\frac{\pi}{4}i}$ найти его алгебраическую форму
    Решение

    По формуле Эйлера: $$z = 10e^{\frac{\pi}{4}i} = 10\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 10\left(\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2}i\right) = 5\sqrt2 + i\;5\sqrt2$$

    Ответ: $5\sqrt2 + i\;5\sqrt2$

    [свернуть]
  2. Записать комплексное число $z = -2 + 8i$ в показательной форме
    Решение

    $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ — вещественная (действительная) часть, $b$ — мнимая. $$r = \sqrt{(-2)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}.$$ $$\varphi = \arctan{\frac{b}{a}} = \arctan\left(\frac{8}{-2}\right) = -\arctan4$$

    Показательная форма $z = re^{i\varphi} = \sqrt{68}\;e^{-\arctan4 \;i}$

    Ответ: $\sqrt{68}\;e^{-\arctan4 \;i}$

    [свернуть]
  3. Выразить произведение $\cos^2y$ через синус и косинус
    Решение

    $\cos^2y = \left(\frac{e^{iy} + e^{-iy}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(e^{iy} + e^{-iy}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(e^{i2y} + 2e^{iy}e^{-iy} + e^{-i2y}\right) =\\= \frac{1}{4}\left(\cos2y + i\sin2y + 2 + \cos(-2y) + i\sin(-2y)\right) =\\ = \frac{1}{4}\left(\cos2y +i\sin2y + 2 + \cos2y — i\sin2y \right) =\\ = \frac{1}{4}\left(2\cos2y +2\right) = \frac{1}{2}\cos2y +1.$

    Ответ: $\frac{1}{2}\cos2y +1$

    [свернуть]
  4. Выразить произведение $\cos^2\varphi \sin^2\varphi$ через синус и косинус
    Решение

    $\cos^2\varphi \sin^2\varphi = \left(\frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}\right)^2 \left(\frac{e^{i\varphi} -e^{-i\varphi}}{2i}\right)^2 = \frac{\left(e^{i2\varphi} -e^{-i2\varphi}\right)^2}{16 i^2} =\\ = \frac{1}{16 i^2} \left(e^{i4\varphi} -2e^{i2\varphi}e^{-i2\varphi} + e^{-i4\varphi}\right) = \frac{1}{16 i^2}\left(e^{i4\varphi} -2 + e^{-i4\varphi}\right) =\\ = \frac{1}{16 i^2}\left(\cos4\varphi +i\sin4\varphi -2 + \cos4\varphi -i\sin4\varphi \right) = \frac{1}{16 i^2}\left(2\cos4\varphi -2 \right) =\\ = -\frac{1}{16}\left(2\cos4\varphi -2 \right) (т.к.\; i^2 = -1) = -\frac{1}{8}\cos4\varphi + \frac{1}{8}$

    Ответ: $-\frac{1}{8}\cos4\varphi + \frac{1}{8}$

    [свернуть]
  5. Представить числа $1,\; i,\; -2,\; -i$ в показательной форме
    Решение

    $1 = \underbrace{\cos2\pi k}_{1} + \underbrace{i\sin2\pi k}_{0} = e^{i2\pi k}$

    $i = \underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{0} + \underbrace{i\sin\frac{\pi}{2}}_{i} = e^{i\frac{\pi}{2}}$

    $-2 = 2\;\underbrace{\left(\cos\pi +i\sin\pi\right)}_{-1} = 2e^{i\pi}$

    $-i = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = e^{-i\frac{\pi}{2}}$

    [свернуть]

Формулы Эйлера

Тест на знание темы «Формулы Эйлера»

Смотрите также

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
  2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов, т.1: Учебное пособие для вузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с., стр.215-217
  3. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 416 с., стр. 49-51