Формулы Эйлера

Запишем определение показательной функции комплексной переменной: $$e^{a+i\varphi}=e^a(\cos\varphi + i\sin\varphi);$$ при $a=0$, формула принимает следующий вид: $$e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi \quad — формула\:Эйлера.$$

Разложим $e^{i\varphi}$ в ряд Тейлора в окрестности точки $0$(ряд Маклорена): $$e^{i\varphi} = 1 + \frac{i\varphi}{1!} + \frac{(i\varphi)^2}{2!} + \frac{(i\varphi)^3}{3!} + \ldots \quad .$$ Зная, что $$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1,$$ перепишем наш ряд:$$e^{i\varphi} = 1 + \frac{i\varphi}{1!} -\frac{\varphi^2}{2!}
-\frac{i\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^4}{4!} + \frac{i\varphi^5}{5!} \ldots \quad .$$ Сгруппируем. Сначала запишем все чётные степени $\varphi$ и единицу, а затем все нечетные степени, из которых, предварительно, вынесем мнимую единицу $i$ за скобку. Таким образом, у нас получается: $$e^{i\varphi} = \underbrace{\left( 1 -\frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} -\frac{\varphi^6}{6!} + \ldots \right)}_{\cos\varphi} + i \underbrace{\left( \frac{\varphi}{1!} -\frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} -\frac{\varphi^7}{7!} + \ldots \right)}_{\sin\varphi}$$ Заметим, что первая скобка соответствует разложению функции $\cos\varphi,$ а вторая — $\sin\varphi$. В конечном итоге, имеем: $$e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi.$$ Что и требовалось доказать.

Из данной формулы можно выразить $\cos\varphi \;и\; \sin\varphi$. Для этого запишем саму формулу Эйлера, а так же формулу Эйлера от переменной $(-\varphi)$. Получаем систему:
\begin{equation*} \begin{cases} \cos\varphi + i \sin\varphi = e^{i \varphi} \\ \cos\varphi -i \sin\varphi = e^{-i \varphi} \end{cases} \end{equation*} Складываем и вычитаем данные выражения. В конечном итоге, имеем: $$\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2};$$ $$\sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} -e^{-i\varphi}}{2i};$$ Эти две формулы так же носят название «формулы Эйлера».

Заметим, что $\cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi}$.

Существует частный случай формулы Эйлера $(при \: \varphi = \pi)$. $$e^{i\pi} = \underbrace{\cos\pi}_{-1} + \underbrace{i\sin\pi}_{0}.$$ Перенесём $(-1)$ в левую часть с противоположным знаком и получим: $$e^{i\pi} + 1 =0.$$ Её называют самой красивой формулой в математике, так как в ней присутствуют самые важные постоянные из разных её областей. Таким образом, $0 \; и\; 1$ относятся к арифметике, $i$ (мнимая единица) — к алгебре, $\pi$ — к геометрии, $e$ — к математическому анализу.

Примеры решения задач

  1. Для комплексного числа в показательной форме $z = 10e^{\frac{\pi}{4}i}$ найти его алгебраическую форму
    Решение

    По формуле Эйлера: $$z = 10e^{\frac{\pi}{4}i} = 10\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 10\left(\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2}i\right) = 5\sqrt2 + i\;5\sqrt2$$

    Ответ: $5\sqrt2 + i\;5\sqrt2$

    [свернуть]
  2. Записать комплексное число $z = -2 + 8i$ в показательной форме
    Решение

    $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ — вещественная (действительная) часть, $b$ — мнимая. $$r = \sqrt{(-2)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}.$$ $$\varphi = \arctan{\frac{b}{a}} = \arctan\left(\frac{8}{-2}\right) = -\arctan4$$

    Показательная форма $z = re^{i\varphi} = \sqrt{68}\;e^{-\arctan4 \;i}$

    Ответ: $\sqrt{68}\;e^{-\arctan4 \;i}$

    [свернуть]
  3. Выразить произведение $\cos^2y$ через синус и косинус
    Решение

    $\cos^2y = \left(\frac{e^{iy} + e^{-iy}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(e^{iy} + e^{-iy}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(e^{i2y} + 2e^{iy}e^{-iy} + e^{-i2y}\right) =\\= \frac{1}{4}\left(\cos2y + i\sin2y + 2 + \cos(-2y) + i\sin(-2y)\right) =\\ = \frac{1}{4}\left(\cos2y +i\sin2y + 2 + \cos2y — i\sin2y \right) =\\ = \frac{1}{4}\left(2\cos2y +2\right) = \frac{1}{2}\cos2y +1.$

    Ответ: $\frac{1}{2}\cos2y +1$

    [свернуть]
  4. Выразить произведение $\cos^2\varphi \sin^2\varphi$ через синус и косинус
    Решение

    $\cos^2\varphi \sin^2\varphi = \left(\frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}\right)^2 \left(\frac{e^{i\varphi} -e^{-i\varphi}}{2i}\right)^2 = \frac{\left(e^{i2\varphi} -e^{-i2\varphi}\right)^2}{16 i^2} =\\ = \frac{1}{16 i^2} \left(e^{i4\varphi} -2e^{i2\varphi}e^{-i2\varphi} + e^{-i4\varphi}\right) = \frac{1}{16 i^2}\left(e^{i4\varphi} -2 + e^{-i4\varphi}\right) =\\ = \frac{1}{16 i^2}\left(\cos4\varphi +i\sin4\varphi -2 + \cos4\varphi -i\sin4\varphi \right) = \frac{1}{16 i^2}\left(2\cos4\varphi -2 \right) =\\ = -\frac{1}{16}\left(2\cos4\varphi -2 \right) (т.к.\; i^2 = -1) = -\frac{1}{8}\cos4\varphi + \frac{1}{8}$

    Ответ: $-\frac{1}{8}\cos4\varphi + \frac{1}{8}$

    [свернуть]
  5. Представить числа $1,\; i,\; -2,\; -i$ в показательной форме
    Решение

    $1 = \underbrace{\cos2\pi k}_{1} + \underbrace{i\sin2\pi k}_{0} = e^{i2\pi k}$

    $i = \underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{0} + \underbrace{i\sin\frac{\pi}{2}}_{i} = e^{i\frac{\pi}{2}}$

    $-2 = 2\;\underbrace{\left(\cos\pi +i\sin\pi\right)}_{-1} = 2e^{i\pi}$

    $-i = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = e^{-i\frac{\pi}{2}}$

    [свернуть]

Формулы Эйлера

Тест на знание темы «Формулы Эйлера»

Смотрите также

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
  2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов, т.1: Учебное пособие для вузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с., стр.215-217
  3. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 416 с., стр. 49-51

Ф1349. Об упругих ударах, периоде малых колебаний

Задача из журнала «Квант» (1992 год, 5 выпуск)

Условие

На гладкий вертикальный стержень насажены тяжелая шайба массой $M$ и легкая шайба массой $m = \frac{M}{1000}$. Легкой шайбе сообщают скорость, равную $v$ и направленную так, как показано на рисунке. На какой высоте над подставкой может находится тяжелая шайба, не смещаясь заметно вверх или вниз? Каким будет период малых колебаний такого «поршня», если его сместить из этого равновесного положения? Все удары считать абсолютно упругими.

Решение

Понятно, что тяжелая шайба (тело) удерживается на некоторой высоте $H$ благодаря тому, что между ней и горизонтальной плоскостью «прыгает» легкая шайба (частица). В равновесном состоянии должно выполнятся условие $$Mg = 2mv\nu \approx 2mv \frac{v}{2H} = \frac{mv^2}{H},$$ где $\nu = \frac{v}{2H}$ — число ударов в секунду шайб друг о друга. Отсюда получаем $$H = \frac{mv^2}{Mg}.$$

Рассмотрим теперь случай, когда наш «поршень» смещен из равновесного положения. Пусть в некоторый момент тело движется вниз со скоростью $V \ll v$. Тогда после каждого удара частица увеличивает свою скорость на $2V$. Таким образом, за время $t$ тело, пройдя путь $Vt$, совершит работу $$A = \frac{1}{2}m(v + 2\nu Vt)^2 — \frac{1}{2}mv^2 \approx 2mv\nu Vt,$$ приводящую к тому, что скорость частицы теперь равна $v + 2\nu Vt$, а действующая на «поршень» сила — $$F = \frac{m}{H}(v + 2\nu Vt)^2 \approx Mg(1 + \frac{2Vt}{H}).$$ Для малых колебаний справедливо равенство $$F = — kx.$$ В нашем случае $$x = Vt \quad и \quad k = \frac{2Mg}{H},$$ откуда для периода колебаний получаем $$T = 2\pi \sqrt\frac{M}{k} = 2\pi\sqrt\frac{H}{2g} = 2\pi\frac{v}{g}\sqrt\frac{m}{2M}.$$

А.Андрианов, М.Цыпин