Метка: аксиома тождества

Теорема (единственность предела)

Если последовательность $\{ x^{(n)} \}$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное. Пусть $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точкам $a$ и $b$, то есть $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = b$. Тогда, по определению предела сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, b) = 0$. В силу неравенства треугольника, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство

$$0 \le \rho(a, b) \le \rho(a, x^{(n)}) + \rho(b, x^{(n)}).$$ Так как числовые последовательности $\rho(a, x^{(n)})$ и $\rho(b, x^{(n)})$ бесконечно малые, то $\rho(a, b) = 0$. Тогда, по аксиоме тождества в метрическом пространстве, $a = b$. Это доказывает единственность предела последовательности.

Источники

• Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. «Курс лекций по математическому анализу», ч.1, 2009 г. стр.244
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа», 2001 г. стр. 225.