Единственность предела сходящейся последовательности

Теорема (единственность предела)

Если последовательность $\{ x^{(n)} \}$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное. Пусть $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точкам $a$ и $b$, то есть $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = b$. Тогда, по определению предела сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, b) = 0$. В силу неравенства треугольника, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство $$0 \le \rho(a, b) \le \rho(a, x^{(n)}) + \rho(b, x^{(n)}).$$ Так как числовые последовательности $\rho(a, x^{(n)})$ и $\rho(b, x^{(n)})$ бесконечно малые, то $\rho(a, b) = 0$. Тогда, по аксиоме тождества в метрическом пространстве, $a = b$. Это доказывает единственность предела последовательности.

Источники

  • Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

N-мерное пространство и операции в нем

Метрическое пространство

Будем множество $latex X $ называть метрическим пространством, если каждой паре элементов $latex x $ и $latex y $ этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число [latex] p(x,y) [/latex] , называемое расстоянием между элементами $latex x $ и $latex y $, такое, что для любых элементов $latex x $ , $latex y $, $latex z $ множества $latex X $ выполнены следующие условия:

  1. $latex p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y; $
  2. $latex p(x,y) = p(y,x); $
  3. $latex p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,…, z_n); $ (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию [latex] p(x,y) [/latex] , определенную на множестве пар точек метрического пространства $latex X $,  $latex p $ — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами [latex] \alpha [/latex]   и [latex] \beta [/latex] при помощи формулы $latex p(\alpha , \beta)= \left | \beta — \alpha \right | $  , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $latex R $. Рассмотрим множество пар вещественных чисел $latex x=(x_{1}+x_{2}) $. Если $latex x=(x_{1}+x_{2}) $, а $latex y=(y_{1}+y_{2}) $, то полагая $latex p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2} $ , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $latex R^{2} $ .  

Метрическое пространство $latex R_{n} $

Точками пространства $latex R_{n} $  являются упорядоченные совокупности из $latex n $ вещественных чисел $latex x=(x_{1},..,x_{n}) $, $latex y=(y_{1},..,y_{n}) $, $latex z=(z_{1},..,z_{n}) $. Расстояние между точками $latex x $ и $latex y $ определяется формулой  $latex p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)} $ . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением: [latex] (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2[/latex]. Справедливое для любых вещественных чисел [latex] a_{1} , b_{1} … a_{n} , b_{n} [/latex]

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен:[latex] p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2} [/latex] , где [latex] A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 [/latex] ,  [latex] B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} [/latex] ,  [latex] C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 [/latex]. Так как квадратный трехчлен [latex] P(\xi) [/latex] принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,  [latex] B^2-AC\leq 0 [/latex] . Подставляя в неравенство значения коэффициентов [latex] A [/latex], [latex] B [/latex] и [latex] C [/latex], получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского[latex] \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}[/latex].

Используя неравенство Коши, получаем: [latex] \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq[/latex] [latex] \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2= [/latex] [latex] (\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2 [/latex]

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского [latex] a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i} [/latex] , получаем неравенство [latex] \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2}[/latex] т. е. неравенство треугольника для расстояния $latex p(x,y) $.

Литература:

Примеры открытых множеств

new

Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 = r^2[/latex] окрашены синим. Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 < r^2[/latex] окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар [latex]B(x_0,r)[/latex] является открытым множеством.
Пусть [latex]x \in B(x_0,r)[/latex]. Докажем, что найдется окрестность [latex]x[/latex], которая целиком содержится в [latex]B(x_0,r)[/latex]. Предположим, что [latex]\rho = r — \left|x — x_0 \right|[/latex]. Тогда [latex]\rho > 0[/latex], так как [latex]\left|x — x_0 \right| < r[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\rho) \subset B(x_0,r)[/latex]. Пусть [latex]y \in B(x,\rho)[/latex]. Тогда [latex]\left|y — x \right| < \rho[/latex]. Оценим расстояние между [latex]y[/latex] и [latex]x_0[/latex]. По неравенству треугольника имеем

[latex]\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r[/latex],

что и требовалось доказать.

В частности, при [latex]n = 1[/latex] открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов [latex]a,b \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]a^i < b^i (i = 1…,n)[/latex], открытым интервалом называется множество всех точек [latex]x[/latex], координаты которых удовлетворяют условиям [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Такой интервал обозначается через [latex](a^1,b^1;…;a^n,b^n)[/latex].В частности, в [latex]\mathbb{R}^2[/latex] открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в [latex]\mathbb{R}^3[/latex] – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является открытым множеством.

Пусть [latex]J[/latex] – открытый интервал и пусть [latex]x \in J[/latex], т. е. [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Обозначим через [latex]\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)[/latex] и [latex] \delta = min(\delta^1,…,\delta^n)[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\delta)[/latex] содержится в [latex]J[/latex]. Действительно, если [latex]y \in B(x,\delta)[/latex], то [latex]|y-x| < \delta[/latex]. Отсюда следует, что [latex]|x^i -y^i| < \delta[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex]. Пользуясь определением числа [latex]\delta[/latex], легко показать, что [latex]a^i < y^i < bi[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex], так что [latex]y \in J[/latex].

Литература: