Метка: арифметические операции

Теорема (арифметические операции со сходящимися последовательностями)

Пусть последовательность $\underset{n\to\infty}{\left\{x_{n}\right\}\rightarrow a}$, а $\underset{n\to\infty}{\left\{y_{n}\right\}\rightarrow b}$. Тогда верны следующие утверждения:

1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\pm y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\pm\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\pm b$.
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\cdot y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\cdot b$.
3. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n}}{ y_{n}}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}}=\frac{a}{b},\;b\neq 0,\;y_{n}\neq 0$.

Доказательство.

1. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( a+\alpha_{n} \right )$
   $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( b+\beta_{n} \right )$,
   где $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ — бесконечно малые последовательности.
   $x_{n}+y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)+\left(b+\beta_{n}\right)=\left(a+b\right)+\left(\alpha_{n}+\beta_{n}\right)=a+b$
2. $x_{n}=a+\alpha_{n}$, $y_{n}=b+\beta_{n}$, где $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ — бесконечно малые последовательности.
   $x_{n}\cdot y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)\cdot\left(b+\beta_{n}\right)=ab+a\beta_{n}+\alpha_{n}b+\alpha_{n}\beta_{n}=ab$
   (по свойству бесконечно малых последовательностей)
3. $x_{n}=a+\alpha_{n}$, $y_{n}=b+\beta_{n}$, где $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ — бесконечно малые последовательности.
   $\frac{a+\alpha_{n}}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b+\beta_{n}}+\alpha_{n}\cdot\frac{1}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b}$
   (по свойству бесконечно малых последовательностей)

Примеры

1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n+\cos n}{2^{n+1}+\sin n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\cos n\right)}{2^{n+1}\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\sin n^2\right)}=\frac{1}{2}\frac{\left(1+0\right)}{\left(1+0\right)}=\frac{1}{2}$
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{a}}}=\frac{1}{1}=1$ при $a>0$
3. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}=?$
   $\frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}=$ (делим числитель и знаменатель на $3^{n+1}$) $=\frac{\frac{\left(-2\right)^n}{3^{n+1}}+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1}=\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1}$
   Предел частного = частному пределов, поэтому:
   $\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}\right)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1\right)}=\frac{0\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{0+1}=\frac{1}{3}$.
4. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right)$
   Предел суммы равен сумме пределов, поэтому:
   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n^2}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{5}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin^2 3}{3^n}=0+1+0=1$.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.,1969. стр. 16-17

Арифметические операции со сходящимися последовательностями

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

С помощью этого теста пользователь проверит свои навыки в нахождении пределов сходящихся последовательностей.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Поздравляю, вы завершили тест!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 15 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Какой операции нет в теореме об арифметических операциях над сходящимися последовательностями?

   • Частное
   • Сумма
   • Разность
   • Композиция
   • Произведение
   Правильно
   

   Это было несложно, правда?

   Неправильно
   

   Подсказка

   Вспомните, какие операции являются арифметическими.
2. Задание 2 из 3

   2.

   Расположите значения следующих выражений в убывающем порядке.

   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\ln n$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a},\:a>1$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{10000n}{n^2+1}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2-n^4}{n\left(3n^3+2\right)}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2n+1}a^n,\:a>1$$
   Правильно 10 / 10Баллы

   Неправильно / 10 Баллы
3. Задание 3 из 3

   3.

   Какие из следующих выражений равносильны?

   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{n\cdot\ln e^n}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{9\cdot 2^n}{6\cdot 2^{n-1}}\right)$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\left|\cos n\right|}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{6n\left(n-1\right)}{2n^2}$$
   • <script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script> $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{18n^2}\cdot\sqrt{2}}{2n}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}6\sqrt[n]{e}$$
   Правильно 4 / 4Баллы

   Неправильно / 4 Баллы

Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x$, то в этой точке также дифференцируемы следующие функции: $\alpha f(x)\pm\beta g(x)$, $f(x)g(x)$, $\frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)$;

Причём:

1. ${[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)$($\alpha$ и $\beta$ — некоторые константы);
2. ${[f(x)g(x)]}’ = {f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)$;
3. ${[\frac {f(x)}{g(x)}]}’ =\frac{{f}'(x)g(x) — f(x){g}'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0)$;

Доказательство :

1. Достаточно доказательства для случая $y(x) = \alpha f(x) + \beta g(x);$
   $y(x) = {\alpha f(x) + \beta g(x)} \Rightarrow\Delta y=$
   $=y(x + \Delta x) — y(x) = \alpha f(x + \Delta x) + \beta g(x+\Delta x) — \alpha f(x) — \beta g(x)=$
   $=\alpha f(x+\Delta x) -\alpha f(x)+\beta g(x+\Delta x) — \beta g(x) =$
   $=\alpha \Delta f(x) + \beta \Delta g(x) \Rightarrow$ $\frac{\Delta y}{\Delta x} =$ $=\frac{\alpha\Delta f(x)+\beta \Delta g(x)}{\Delta x}=$
   $\alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} +\beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \underset{propetiesoflimits}{\Rightarrow} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =$ $={y}'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \alpha{f}'(x)+\beta{g}'(x)$
   $\Rightarrow$ В общем случае: ${[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)$;
2. $y(x)=f(x)g(x) \Rightarrow \Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) =$
   $= f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) — f(x)g(x) = [f(x) + \Delta f(x)][g(x) + \Delta g(x)] — f(x)g(x) =$
   $= \Delta f(x)g(x) + \Delta g(x)f(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \Rightarrow$
   $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x) + \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}f(x) + \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Delta g$
   При переходе к пределам получим следующее:
   $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = {f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)+{f}'(x)0($в силу непрерывности дифференцируемой функции $g(x), \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta g(x)=0);$
   $\Rightarrow {y}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$, что и требовалось доказать;
3. $y = \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)\Rightarrow$
   $\Delta y = \frac{f(x+\Delta x)}{g(x + \Delta x)} — \frac{f(x)}{g(x)}=$
   $= \frac{f(x) + \Delta f(x)}{g(x) + \Delta g(x)}- \frac{f(x)}{g(x)} =$
   $\frac{\Delta f(x)g(x) + f(x)g(x) — f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}=$
   $\frac{\Delta f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}$
   $\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x} — \frac{\Delta g(x)f(x)}{{\Delta x}}}{[g(x)]^2+[\Delta g(x)]^2}$
   Перейдя к пределам получим:
   $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = \frac{{f}'(x)g(x) — {g}'(x)f(x)}{[g(x)]^2}$, что и требовалось доказать.

Замечание: Из определения дифференциала и формул дифференцирования 1,2 и 3 следует, что:

• $d(\alpha f+\beta g)=\alpha df + \beta dg;$
  Другими словами оператор дифференцирования является линейным оператором.
• $d(fg) = gdf + fdg;$
• $d(\frac{f}{g}), g \neq 0 = \frac{gdf — fdg}{g^2};$

Примеры:

Тест:

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Простой тест для проверки усвоения правил дифференцирования.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Если чувствуете себя неуверенно в этой теме перечитайте материал.

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 4

   Установите соответствие между видом функции состоящей из двух дифференцируемых функций и формулой дифференцирования.

   Элементы сортировки

   • $$\alpha {f}'(x)$$
   • $${f}'(x) \pm {g}'(x)$$
   • $${f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)$$
   • $$\frac{{f}'(x)g(x) - f(x){g}'(x)}{[g(x)]^{2}}$$

   • $$\alpha f(x)$$

   • $$f(x) \pm g(x)$$

   • $$f(x)g(x)$$

   • $$\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 3

   Выберите правильные тождества.

   • $${(\frac{\sin x}{x})}' = \frac{\cos x(x) - \sin x}{x^{2}}$$
   • $${(5x^{\frac{2}{3}})}' = 5x^{\frac{-1}{3}}$$
   • $${(\sin x \cos x)}' = \cos (2x)$$
   • $${(3\cos (-3x))}' = -9\sin(3x)$$
   • $${(\frac{1}{x} + \ln x)}' = \frac{x+1}{x^{2}}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Установите соответствие между функциями и их дифференциалами в окрестности точки $x_{0}=2$.

   Элементы сортировки

   • $$df(2)=(2e^{2x}x^{2}+2xe^{2x})(x-2)$$
   • $$df(2)=3(x-2)(\frac{2-2\ln x}{4x^{2}})$$
   • $$df(2)=(x-2)[3-\frac{8}{x^3}]$$
   • $$df(2)=[{3x^2-6x^2-8x}{x^4}](x-2)$$

   • $$f(x)=e^{2x}x^{2}$$

   • $$f(x)=\frac{3\ln x}{2x}$$

   • $$f(x)=3x+\frac{4}{x^2}$$

   • $$f(x)=\frac{3x+4}{x^2}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 111-112.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.