Для каких прямоугольников на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно получить из любой расстановки любую другую, если разрешается изменять числа одновременно в каждой строке, каждом столбце и на каждой прямой, параллельной диагоналями клеток (в частности, в угловых клетках)?
Автор: Константин Берков
Геометрический смысл дифференциала
Проведем касательную к графику функции
в точке
, также рассмотрим точку пересечения касательной
с прямой
. Отрезок
, а отрезок
.
Из прямоугольного треугольника получаем, что
, поэтому
. Но нам известно, что
. Сравнив результат с формулой
получаем, что
, то есть дифференциал функции
равен приращению ординаты касательной
к графику функции
в этой точке, когда приращение аргумента равно
.
Тест:
Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.
Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится».
- Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.
Дифференцируемые функции и дифференциал
Определение: Если функция определена в окрестности точки
и
, где
, а
— некоторая константа, то функцию
называют дифференцируемой в точке
и
называется дифференциалом функции
в точке
.
Определение: Если функция дифференцируема в любой точке
, то функция
называется дифференцируемой на промежутке
.
Замечание: Если — дифференцируема на промежутке
и
и
, то функция
называется дифференцируемой на отрезке
.
Критерий дифференцируемости функции
Формулировка:
Функция дифференцируема в точке
тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке
Доказательство:
Достаточность:
, где
, а это и означает, что функция
— дифференцируема в точке
.
Тест:
Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.
Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
- Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.
Односторонние и бесконечные производные
Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.
Определение: Если функция , непрерывна слева в точке
, то есть
и
, то этот предел называют левой производной функции
в точке
.
Левая производна кратко записывается .
Определение: Если функция , непрерывна справа в точке
, то есть
и
, то этот предел называют правой производной функции
в точке
.
Правая производна кратко записывается .
Определение: Прямая проходящая через точку , с угловым коэффициентом
, называется левой касательной к графику функции
в точке
.
Определение: Прямая проходящая через точку , с угловым коэффициентом
, называется правой касательной к графику функции
в точке
.
Определение: Если функция , непрерывна в точке
и
, тогда производная
называется бесконечной производной.
Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси . В случаях a и b эта производная равна, соответственно,
и
(обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.
Тест:
Односторонние и бесконечные производные.
Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.
Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
- Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Пример:
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид
Находим значение касательной в точке 5, получаем
Список литературы:
- Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
- Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Тест:
Тест на знание геометрического смысла производной.
Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |