M1489

Для каких прямоугольников $latex m\times n $ на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно получить из любой расстановки любую другую, если разрешается изменять числа одновременно в каждой строке, каждом столбце и на каждой прямой, параллельной диагоналями клеток (в частности, в угловых клетках)?

Решение: это всегда возможно для прямоугольников $latex m\times n $, лишь если $latex m $ и $latex n $ не больше 3. поскольку операцию можно выполнять в обратном порядке, достаточно выяснить, для каких таблиц $latex m\times n $ из любой расстановки можно получить таблицу из одних едениц.
Легко видеть, что для прямоугольников $latex 1\times n $, $latex 2\times n $ и $latex 3\times n $ заменами знаков можно получить таблицу из одних единиц: на рисунке 1 указан порядок, в котором нули, стоящие в некоторых клетках, можно заменить на единицы(цветные линии показывают какой именно — вертикальный или диагональный — «ход» следует делать).
С другой сторны, в прямоугольнике $latex m\times n $, где m и n не меньше 4, можно выделить фигуру из восьми клеток, показанных на рисунке 2 штриховкой; четность количества единиц не меняется в этих клетках при всех разрешенных преобразованиях — является, как говорят, инвариантом. Таким образом, если в одной из таких фигур стоит нечетное число единиц, то прийти к таблице заполненной единицами, невозможно.
Представляем читателям выяснить, образуют ли такие таблицы из 8 клеток полную систему инвариантов, также следует ли из четности количества единиц в каждой из них возможность преобразовать таблицу в состояние «все единицы», а заодно выяснить, сколько существует классов (неэквивалентных друг другу) таблиц относительно разрешенных в условии преобразований.
А.Галочкин

M1489

Геометрический смысл дифференциала

Проведем касательную [latex]l[/latex] к графику функции [latex]y = f(x)[/latex] в точке [latex]x[/latex], также рассмотрим точку пересечения касательной [latex]l[/latex] с прямой [latex]x + \Delta x[/latex]. Отрезок [latex]AM_{1} = \Delta x[/latex], а отрезок [latex]AM_{2} = \Delta y[/latex].

GeomSenseOfDiff

Из прямоугольного треугольника [latex]\triangle M_{1}AB[/latex] получаем, что [latex]tg \alpha = \frac{AB}{\Delta x}[/latex], поэтому [latex]AB = tg \alpha \Delta x[/latex]. Но нам известно, что [latex]{f}'(x) = tg \alpha \Rightarrow AB = {f}'(x)\Delta x[/latex]. Сравнив результат с формулой [latex]A\Delta x = dy[/latex] получаем, что [latex]dy = AB[/latex], то есть дифференциал функции [latex]y[/latex] равен приращению ординаты касательной [latex]l[/latex] к графику функции [latex]f(x)[/latex] в этой точке, когда приращение аргумента равно [latex]\Delta x[/latex].

Тест:

Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.


Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Список литературы:

  1. Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится». 
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение: Если функция [latex]f[/latex] определена в окрестности точки [latex]x_{0}[/latex] и [latex]f(x)-f(x_{0}) =[/latex][latex] A\Delta x + \Delta x\alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0[/latex], а [latex]A[/latex] — некоторая константа, то функцию [latex]f[/latex] называют дифференцируемой в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]A\Delta x = df(x_{0})[/latex] называется дифференциалом функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex] дифференцируема в любой точке [latex]x_{0} \in (a, b)[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на промежутке [latex](a, b)[/latex].

Замечание: Если [latex]y = f(x)[/latex] — дифференцируема на промежутке [latex](a, b)[/latex] и [latex]\exists {f}_{+}'(a) = \lim\limits_{x \to a+0} \frac{\Delta y}{x-a}[/latex] и [latex]\exists {f}_{-}'(b) = \lim\limits_{x \to b-0} \frac{\Delta y}{x-b}[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на отрезке [latex][a, b][/latex].

Критерий дифференцируемости функции

Формулировка:

Функция [latex]f[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex] тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Доказательство:

Необходимость:
[latex]f(x) — [/latex]дифференцируема в точке [latex]x_{0} \Rightarrow \exists A:[/latex][latex]\Delta f(x) = A\Delta x+\Delta x \alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)= 0 \Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=[/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x +\Delta x\alpha(\Delta x)}{\Delta x} =[/latex] [latex] \lim\limits_{\Delta x \to 0} A + \alpha(\Delta x) =[/latex] [latex] A\Rightarrow \exists {f}'(x_{0}) = A \Rightarrow dy =[/latex] [latex] {f}'(x_{0})\Delta x.[/latex]

Достаточность:
[latex]\exists {f}'(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow [/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} — {f}'(x_{0}) =[/latex] [latex] \alpha (\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha (\Delta x) = 0[/latex] [latex]\Rightarrow \Delta f(x) = {f}'(x_{0})\Delta x + \alpha (\Delta x)\Delta x[/latex], а это и означает, что функция [latex]f(x)[/latex] — дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex].

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.


Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Односторонние и бесконечные производные

Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна слева в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} — 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют левой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Левая производна кратко записывается [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна справа в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют правой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Правая производна кратко записывается [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex], называется левой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex], называется правой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Если функция [latex]y=f(x)[/latex], непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty[/latex], тогда производная [latex]{f}'(x_{0})[/latex] называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси [latex]Oy[/latex]. В случаях a и b эта производная равна, соответственно, [latex]+\infty[/latex] и [latex]-\infty[/latex] (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.
svg

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.


Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Если функция [latex]y=f\left(x\right)[/latex] имеет производную в точке [latex]x_{0}[/latex], значит [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f}’\left(x\right)[/latex], тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке [latex]M_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right):[/latex] [latex]y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\left(x-x_{0}\right) \left(x \to x_{0}\right)[/latex] это означает, что в точке [latex]M_{0} \exists l_{0}=k_{0}x + b_{0}[/latex] — касательная к графику функции, причём [latex]k_{0}={f}’\left(x_{0}\right)[/latex].

Иллюстративный материал.

Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции [latex]y = f\left(x\right)[/latex] в точке [latex]M_{0}\left(x_{0},{f}\left(x_{0}\right)\right)[/latex], а уравнение касательной [latex]l_{0} ={f}\left(x_{0}\right)+ {f}’\left(x_{0}\right)\left(x — x_{0}\right)[/latex].

 

Пример:

Найдите уравнение касательной к графику функции [latex]y=e^{2x-3}[/latex] в точке [latex]x_{0} = 5[/latex], а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид [latex]l={f}\left(x_{0}\right)+{f}’\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)[/latex], причём [latex]{f}’\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha[/latex], где [latex]\alpha[/latex] — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем [latex]{f}’\left(x\right)=2e^{2x-3}[/latex], а в точке [latex]x_{0}=5: \, {f}’\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow[/latex][latex] l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =[/latex][latex] -9e^{7}+2e^{7}x[/latex], [latex]\alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).[/latex]

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

 

Тест:

Тест на знание геометрического смысла производной.

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных