Для каких прямоугольников $latex m\times n $ на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно получить из любой расстановки любую другую, если разрешается изменять числа одновременно в каждой строке, каждом столбце и на каждой прямой, параллельной диагоналями клеток (в частности, в угловых клетках)?
Автор: Константин Берков
Геометрический смысл дифференциала
Проведем касательную [latex]l[/latex] к графику функции [latex]y = f(x)[/latex] в точке [latex]x[/latex], также рассмотрим точку пересечения касательной [latex]l[/latex] с прямой [latex]x + \Delta x[/latex]. Отрезок [latex]AM_{1} = \Delta x[/latex], а отрезок [latex]AM_{2} = \Delta y[/latex].
Из прямоугольного треугольника [latex]\triangle M_{1}AB[/latex] получаем, что [latex]tg \alpha = \frac{AB}{\Delta x}[/latex], поэтому [latex]AB = tg \alpha \Delta x[/latex]. Но нам известно, что [latex]{f}'(x) = tg \alpha \Rightarrow AB = {f}'(x)\Delta x[/latex]. Сравнив результат с формулой [latex]A\Delta x = dy[/latex] получаем, что [latex]dy = AB[/latex], то есть дифференциал функции [latex]y[/latex] равен приращению ординаты касательной [latex]l[/latex] к графику функции [latex]f(x)[/latex] в этой точке, когда приращение аргумента равно [latex]\Delta x[/latex].
Тест:
Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.
Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится».
- Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.
Дифференцируемые функции и дифференциал
Определение: Если функция [latex]f[/latex] определена в окрестности точки [latex]x_{0}[/latex] и [latex]f(x)-f(x_{0}) =[/latex][latex] A\Delta x + \Delta x\alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0[/latex], а [latex]A[/latex] — некоторая константа, то функцию [latex]f[/latex] называют дифференцируемой в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]A\Delta x = df(x_{0})[/latex] называется дифференциалом функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex] дифференцируема в любой точке [latex]x_{0} \in (a, b)[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на промежутке [latex](a, b)[/latex].
Замечание: Если [latex]y = f(x)[/latex] — дифференцируема на промежутке [latex](a, b)[/latex] и [latex]\exists {f}_{+}'(a) = \lim\limits_{x \to a+0} \frac{\Delta y}{x-a}[/latex] и [latex]\exists {f}_{-}'(b) = \lim\limits_{x \to b-0} \frac{\Delta y}{x-b}[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на отрезке [latex][a, b][/latex].
Критерий дифференцируемости функции
Формулировка:
Функция [latex]f[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex] тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке [latex]x_{0}.[/latex]
Доказательство:
[latex]f(x) — [/latex]дифференцируема в точке [latex]x_{0} \Rightarrow \exists A:[/latex][latex]\Delta f(x) = A\Delta x+\Delta x \alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)= 0 \Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=[/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x +\Delta x\alpha(\Delta x)}{\Delta x} =[/latex] [latex] \lim\limits_{\Delta x \to 0} A + \alpha(\Delta x) =[/latex] [latex] A\Rightarrow \exists {f}'(x_{0}) = A \Rightarrow dy =[/latex] [latex] {f}'(x_{0})\Delta x.[/latex]
Достаточность:
[latex]\exists {f}'(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow [/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} — {f}'(x_{0}) =[/latex] [latex] \alpha (\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha (\Delta x) = 0[/latex] [latex]\Rightarrow \Delta f(x) = {f}'(x_{0})\Delta x + \alpha (\Delta x)\Delta x[/latex], а это и означает, что функция [latex]f(x)[/latex] — дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex].
Тест:
Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.
Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
- Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.
Односторонние и бесконечные производные
Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.
Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна слева в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} — 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют левой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Левая производна кратко записывается [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex].
Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна справа в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют правой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Правая производна кратко записывается [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex].
Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex], называется левой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].
Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex], называется правой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].
Определение: Если функция [latex]y=f(x)[/latex], непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty[/latex], тогда производная [latex]{f}'(x_{0})[/latex] называется бесконечной производной.
Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси [latex]Oy[/latex]. В случаях a и b эта производная равна, соответственно, [latex]+\infty[/latex] и [latex]-\infty[/latex] (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.
Тест:
Односторонние и бесконечные производные.
Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.
Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
- Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Пример:
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид [latex]l={f}\left(x_{0}\right)+{f}’\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)[/latex], причём [latex]{f}’\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha[/latex], где [latex]\alpha[/latex] — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем [latex]{f}’\left(x\right)=2e^{2x-3}[/latex], а в точке [latex]x_{0}=5: \, {f}’\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow[/latex][latex] l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =[/latex][latex] -9e^{7}+2e^{7}x[/latex], [latex]\alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).[/latex]
Список литературы:
- Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
- Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Тест:
Тест на знание геометрического смысла производной.
Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |