M1489

Для каких прямоугольников $m\times n$ на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно получить из любой расстановки любую другую, если разрешается изменять числа одновременно в каждой строке, каждом столбце и на каждой прямой, параллельной диагоналями клеток (в частности, в угловых клетках)?

Решение: это всегда возможно для прямоугольников $m\times n$ , лишь если $m$ и $n$ не больше 3. поскольку операцию можно выполнять в обратном порядке, достаточно выяснить, для каких таблиц $m\times n$ из любой расстановки можно получить таблицу из одних едениц.

Легко видеть, что для прямоугольников $1\times n$ , $2\times n$ и $3\times n$ заменами знаков можно получить таблицу из одних единиц: на рисунке 1 указан порядок, в котором нули, стоящие в некоторых клетках, можно заменить на единицы(цветные линии показывают какой именно — вертикальный или диагональный — «ход» следует делать).

С другой сторны, в прямоугольнике $m\times n$ , где m и n не меньше 4, можно выделить фигуру из восьми клеток, показанных на рисунке 2 штриховкой; четность количества единиц не меняется в этих клетках при всех разрешенных преобразованиях — является, как говорят, инвариантом. Таким образом, если в одной из таких фигур стоит нечетное число единиц, то прийти к таблице заполненной единицами, невозможно.

Представляем читателям выяснить, образуют ли такие таблицы из 8 клеток полную систему инвариантов, также следует ли из четности количества единиц в каждой из них возможность преобразовать таблицу в состояние «все единицы», а заодно выяснить, сколько существует классов (неэквивалентных друг другу) таблиц относительно разрешенных в условии преобразований.

А.Галочкин

Геометрический смысл дифференциала

Проведем касательную $l$ к графику функции $y = f(x)$ в точке $x$ , также рассмотрим точку пересечения касательной $l$ с прямой $x + \Delta x$ . Отрезок $AM_{1} = \Delta x$ , а отрезок $AM_{2} = \Delta y$ .

Из прямоугольного треугольника $\triangle M_{1}AB$ получаем, что $tg \alpha = \frac{AB}{\Delta x}$ , поэтому $AB = tg \alpha \Delta x$ . Но нам известно, что ${f}'(x) = tg \alpha \Rightarrow AB = {f}'(x)\Delta x$ . Сравнив результат с формулой $A\Delta x = dy$ получаем, что $dy = AB$ , то есть дифференциал функции $y$ равен приращению ординаты касательной $l$ к графику функции $f(x)$ в этой точке, когда приращение аргумента равно $\Delta x$ .

Тест:

Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.

Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.

максимум из 6 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится».
Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение: Если функция $f$ определена в окрестности точки $x_{0}$ и $f(x)-f(x_{0}) =$ $A\Delta x + \Delta x\alpha(\Delta x)$ , где $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0$ , а $A$ — некоторая константа, то функцию $f$ называют дифференцируемой в точке $x_{0}$ и $A\Delta x = df(x_{0})$ называется дифференциалом функции $f$ в точке $x_{0}$ .

Определение: Если функция $y = f(x)$ дифференцируема в любой точке $x_{0} \in (a, b)$ , то функция $y$ называется дифференцируемой на промежутке $(a, b)$ .

Замечание: Если $y = f(x)$ — дифференцируема на промежутке $(a, b)$ и $\exists {f}_{+}'(a) = \lim\limits_{x \to a+0} \frac{\Delta y}{x-a}$ и $\exists {f}_{-}'(b) = \lim\limits_{x \to b-0} \frac{\Delta y}{x-b}$ , то функция $y$ называется дифференцируемой на отрезке $[a, b]$ .

Критерий дифференцируемости функции

Формулировка:

Функция $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$ тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке $x_{0}.$

Доказательство:

Необходимость:
$f(x) -$ дифференцируема в точке $x_{0} \Rightarrow \exists A:$ $\Delta f(x) = A\Delta x+\Delta x \alpha(\Delta x)$ , где $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)= 0 \Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=$ $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x +\Delta x\alpha(\Delta x)}{\Delta x} =$ $\lim\limits_{\Delta x \to 0} A + \alpha(\Delta x) =$ $A\Rightarrow \exists {f}'(x_{0}) = A \Rightarrow dy =$ ${f}'(x_{0})\Delta x.$

Достаточность:
$\exists {f}'(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow$ $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} - {f}'(x_{0}) =$ $\alpha (\Delta x)$ , где $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha (\Delta x) = 0$ $\Rightarrow \Delta f(x) = {f}'(x_{0})\Delta x + \alpha (\Delta x)\Delta x$ , а это и означает, что функция $f(x)$ — дифференцируема в точке $x_{0}$ .

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость

максимум из 13 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Односторонние и бесконечные производные

Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция $y = f(x)$ , непрерывна слева в точке $x_{0}$ , то есть $\lim\limits_{x \to x_{0} - 0} f(x) = f(x_{0})$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , то этот предел называют левой производной функции $y$ в точке $x_{0}$ .
Левая производна кратко записывается ${f_{-}}'(x_{0})$ .

Определение: Если функция $y = f(x)$ , непрерывна справа в точке $x_{0}$ , то есть $\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , то этот предел называют правой производной функции $y$ в точке $x_{0}$ .
Правая производна кратко записывается ${f_{+}}'(x_{0})$ .

Определение: Прямая проходящая через точку $(x_{0}, f(x_{0}))$ , с угловым коэффициентом ${f_{-}}'(x_{0})$ , называется левой касательной к графику функции $y$ в точке $(x_{0}, f(x_{0}))$ .

Определение: Прямая проходящая через точку $(x_{0}, f(x_{0}))$ , с угловым коэффициентом ${f_{+}}'(x_{0})$ , называется правой касательной к графику функции $y$ в точке $(x_{0}, f(x_{0}))$ .

Определение: Если функция $y=f(x)$ , непрерывна в точке $x_{0}$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty$ , тогда производная ${f}'(x_{0})$ называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси $Oy$ . В случаях a и b эта производная равна, соответственно, $+\infty$ и $-\infty$ (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.

Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Геометрический смысл производной

Если функция $y=f\left(x\right)$ имеет производную в точке $x_{0}$ , значит $\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f}'\left(x\right)$ , тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке $M_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right):$ $y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\left(x-x_{0}\right) \left(x \to x_{0}\right)$ это означает, что в точке $M_{0} \exists l_{0}=k_{0}x + b_{0}$ — касательная к графику функции, причём $k_{0}={f}'\left(x_{0}\right)$ .

Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f\left(x\right)$ в точке $M_{0}\left(x_{0},{f}\left(x_{0}\right)\right)$ , а уравнение касательной $l_{0} ={f}\left(x_{0}\right)+ {f}'\left(x_{0}\right)\left(x - x_{0}\right)$ .

Пример:

Найдите уравнение касательной к графику функции $y=e^{2x-3}$ в точке $x_{0} = 5$ , а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид $l={f}\left(x_{0}\right)+{f}'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ , причём ${f}'\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha$ , где $\alpha$ — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем ${f}'\left(x\right)=2e^{2x-3}$ , а в точке $x_{0}=5: \, {f}'\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow$ $l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =$ $-9e^{7}+2e^{7}x$ , $\alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).$

Список литературы:

Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:

Тест на знание геометрического смысла производной.

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

максимум из 13 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Поделиться ссылкой:

Тест:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.

Список литературы:

Поделиться ссылкой:

Критерий дифференцируемости функции

Формулировка:

Доказательство:

Тест:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

3.

Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость

Список литературы:

Поделиться ссылкой:

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.

Поделиться ссылкой:

Геометрический смысл производной

Пример:

Тест:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

Поделиться ссылкой: