Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.
Определение Пусть дана матрицаA∈Mm×n(P). Возьмем в ней любые i строк и i столбцов, причем i>0 и i меньше минимального из m и n. Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу i−го порядка. Определитель этой матрицы называется минором i−го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.
Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка |−8−52713−9−34−4−19−53−48|.
Выберем, например, 2-й и 4-й столбцы и 1-ю и 3-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор2−го порядка: |−57−49|=−45+28=−17.
Также мы можем выбрать любые строки и столбцы для получения миноров.
Определение Пусть дана матрицаA∈Mm(P). Выберем в ней минор i−го порядка, такой, что i>0 и i<m. Если мы вычеркнем строки и столбцы матрицы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую матрицу. Определитель новой матрицы называется дополнительным минором к исходному.
Пример 2 Возьмем определитель и его минор 2−го порядка из первого примера. Дополнительным минором к нему будет |1−9−5−4|=−4−45=−49.
Определение Пусть дана матрицаA∈Mm(P). Выберем в ней минор i−го порядка, такой, что i>0 и i<m. Если мы умножим дополнительный к нему минор на число (−1)S1+S2, в котором S1 — это сумма номеров строк, а S2 — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.
Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка |−753−269−873−401−1−59−32−2−4−8495−11|.
Выберем в нем, к примеру 1−ю и 4−ю строки, а также 2−й и 5−й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор2−го порядка |562−8|=−40−12=−52.
где степени −1 являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в 1−й и 4−й строках и во 2−м и в 5−м столбцах.
Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.
Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка m выбрать i строк (столбцов), где i>0 и i<m, то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь i−й порядок.
Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя m−го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков (i), что упрощает нам задачу.
Как мы могли заметить, для нахождения определителя 4−го порядка нам понадобилось искать лишь определители 2−го порядка, что намного легче. Разберем этот пример подробнее.
Для начала, вторым множителем каждого слагаемого является минор, расположенный в выбранных в начале решения строках. Мы берем все существующие в данных строках миноры. Далее, первым множителем каждого слагаемого является (−1) в степени, которая является суммой номеров строк и столбцов, в которых расположен соответствующий минор. Третьим же множителем является дополнительный минор к соответствующему. Произведение дополнительного минора и (−1) в соответствующей степени образует алгебраическое дополнение к своему минору.
Таким образом мы расписываем все миноры, находящиеся в выбранных строках, умножаем на их алгебраические дополнения и суммируем полученные произведения. После этого решаем полученное выражение, приходя к ответу, который является значением определителя исходной матрицы.
Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по 2−му и 3−му столбцам: |14−305−21702−64−5102|=(−1)(1+2)+(2+3)⋅|4−3−21|⋅|04−52|++(−1)(1+3)+(2+3)⋅|4−32−6|⋅|57−52|+(−1)(1+4)+(2+3)⋅|4−310|⋅|5704|++(−1)(2+3)+(2+3)⋅|−212−6|⋅|10−52|+(−1)(2+4)+(2+3)⋅|−2110|⋅|1004|++(−1)(3+4)+(2+3)⋅|2−610|⋅|1057|=(−1)8⋅(4−6)⋅(0+20)++(−1)9⋅(−24+6)⋅(10+35)+(−1)10⋅(0+3)⋅(20−0)++(−1)10⋅(12−2)⋅(2−0)+(−1)11⋅(0−1)⋅(4−0)++(−1)12⋅(0+6)⋅(7−0)=−2⋅20+18⋅45+3⋅20+10⋅2+1⋅4++6⋅7=−40+810+60+20+4+42=896.
Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по 2−й и 4−й строкам: |7912045−31024−511−798|=(−1)(2+4)+(1+2)⋅|4511−7|⋅|1204−5|++(−1)(2+4)+(1+3)⋅|4−3119|⋅|902−5|+(−1)(2+4)+(1+4)⋅|41118|⋅|91224|++(−1)(2+4)+(2+3)⋅|5−3−79|⋅|700−5|++(−1)(2+4)+(2+4)⋅|51−78|⋅|71204|+(−1)(2+4)+(3+4)⋅|−3198|⋅|7902|==(−1)9⋅(−28−55)⋅(−60−0)+(−1)10⋅(36+33)⋅(−45−0)++(−1)11⋅(32−11)⋅(36−24)+(−1)11⋅(45−21)⋅(−35−0)++(−1)12⋅(40+7)⋅(28−0)+(−1)13⋅(−24−9)⋅(14−0)=−83⋅60−69⋅⋅45−21⋅12+24⋅35+47⋅28+33⋅14=−4980−3105−252+840++1316+462=−5719.
Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по 1−му и 2−му столбцам: |−5712011−26102151−34−1145|=(−1)(1+2)+(1+2)⋅|−5711−2|⋅|1−3145|++(−1)(1+3)+(1+2)⋅|−57215|⋅|610145|++(−1)(1+4)+(1+2)⋅|−574−1|⋅|6101−3|++(−1)(2+3)+(1+2)⋅|11−2215|⋅|120145|++(−1)(2+4)+(1+2)⋅|11−24−1|⋅|1201−3|++(−1)(3+4)+(1+2)⋅|2154−1|⋅|120610|=(−1)6⋅(10−77)⋅(5+42)++(−1)7⋅(−75−14)⋅(30−144)+(−1)8⋅(5−28)⋅(−18−10)++(−1)8⋅(165+4)⋅(60−0)+(−1)9⋅(−11+8)⋅(−36−0)++(−1)10⋅(−2−60)⋅(120−0)=−67⋅47−89⋅110+23⋅28+169⋅60−−3⋅36−62⋅120=−3149−9790+644+10140−108−7440=−9703.
Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Теорема Лапласа
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Тест на проверку знаний о теореме Лапласа и определений, необходимых для формулировки данной теоремы.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 1
Что означают числа S1 и S2 в множителе алгебраического дополнения, который имеет вид (−1)S1+S2?
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 3
Дан определитель |571049−21−7118−402−94|. При условии, что мы раскладываем его по 1−й и 3−й строкам, каковыми могут быть дополнительные миноры?
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 4
Вставьте пропущенные слова. В каждом пропуске может быть до двух слов включительно. Также ответом могут служить цифры.
Выберем в произвольной матрице 2 строки и 2 столбца. Тогда элементы, стоящие на пересечении этих строк образуют матрицу (второго, 2, 2-го, 2-о, другого, 2-ого) порядка. Определитель этой матрицы называется (минором, минор, мінор, мінором) 2-го порядка исходной матрицы. Если мы вычеркнем все строки и столбцы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую (матрицу, матрица, матрицю). Определитель этой матрицы называется (дополнительным минором, дополнительный минор, додатковий мінор, додатковим мінором, доп. минором, доп. минор, доп минор, доп минором, дод. мінором, дод. мінор, дод мінором, дод мінор) к исходному.
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 7
Расположите определители в порядке возрастания их значений.
