Теорема Лапласа (без доказательства)

Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_{m \times n}(P).$ Возьмем в ней любые $i$ строк и $i$ столбцов, причем $i > 0$ и $i$ меньше минимального из $m$ и $n.$ Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу $i-$го порядка. Определитель этой матрицы называется минором $i-$го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.

Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка $$ \begin{vmatrix} -8 & -5 & 2 & 7 \\ 1 & 3 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -1 & 9 \\ -5 & 3 & -4 & 8 \end{vmatrix}.$$ Выберем, например, $2$-й и $4$-й столбцы и $1$-ю и $3$-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор $2-$го порядка: $$ \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 28 = -17.$$ Также мы можем выбрать любые строки и столбцы для получения миноров.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы вычеркнем строки и столбцы матрицы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую матрицу. Определитель новой матрицы называется дополнительным минором к исходному.

Пример 2 Возьмем определитель и его минор $2-$го порядка из первого примера. Дополнительным минором к нему будет $$ \begin{vmatrix} 1 & -9 \\ -5 & -4 \end{vmatrix} = -4-45 = -49.$$

Определение Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы умножим дополнительный к нему минор на число $(-1)^{S_1 + S_2}$, в котором $S_1$ — это сумма номеров строк, а $S_2$ — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.

Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка $$ \begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Выберем в нем, к примеру $1-$ю и $4-$ю строки, а также $2-$й и $5-$й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор $2-$го порядка $$ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.$$ Дополнительным минором к нему будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106.$$ Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106,$$ где степени $-1$ являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в $1-$й и $4-$й строках и во $2-$м и в $5-$м столбцах.

Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.

Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка $m$ выбрать $i$ строк (столбцов), где $i > 0$ и $i < m,$ то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь $i-$й порядок.

Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя $m-$го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков ($i$), что упрощает нам задачу.

Следствием (а также частным случаем, для которого $i = 1$) из теоремы Лапласа является Теорема о разложении определителя по строке.

Примеры решения задач

Пример 4 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{pmatrix}.$$ Разложим определитель этой матрицы по теореме Лапласа, выбрав $1-$ю и $3-$ю строки: $$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (1 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (1 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -6 & 5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (3 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 9 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 7 \\ -3 & -6 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -5 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^7 \cdot (12-0) \cdot (0 + 25) +$$ $$+ (-1)^8 \cdot (3-0) \cdot (0-30) + (-1)^9 \cdot (6-0) \cdot (35 + 12) +$$ $$+ (-1)^{10} \cdot (10-36) \cdot (-5 + 6) + (-1)^{11} \cdot (12-9) \cdot (6 + 21) +$$ $$+ (-1)^9 \cdot (5-24) \cdot (0-15) = -(12 \cdot 25)-3 \cdot 30-6 \cdot 47-26 \cdot 1-3 \cdot 27-$$ $$-(19 \cdot 15) = -300-90-282-26-81-285 = -1064.$$

Как мы могли заметить, для нахождения определителя $4-$го порядка нам понадобилось искать лишь определители $2-$го порядка, что намного легче. Разберем этот пример подробнее.

Для начала, вторым множителем каждого слагаемого является минор, расположенный в выбранных в начале решения строках. Мы берем все существующие в данных строках миноры. Далее, первым множителем каждого слагаемого является $(-1)$ в степени, которая является суммой номеров строк и столбцов, в которых расположен соответствующий минор. Третьим же множителем является дополнительный минор к соответствующему. Произведение дополнительного минора и $(-1)$ в соответствующей степени образует алгебраическое дополнение к своему минору.

Таким образом мы расписываем все миноры, находящиеся в выбранных строках, умножаем на их алгебраические дополнения и суммируем полученные произведения. После этого решаем полученное выражение, приходя к ответу, который является значением определителя исходной матрицы.

Пример 5 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -6 & 4 \\ -5 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$

Решение

Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по $2-$му и $3-$му столбцам: $$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -6 & 4 \\ -5 & 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 2) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(2 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{(2 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(3 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = (-1)^8 \cdot (4-6) \cdot (0 + 20) +$$ $$+ (-1)^9 \cdot (-24 + 6) \cdot (10 + 35) + (-1)^{10} \cdot (0 + 3) \cdot (20-0) +$$ $$+ (-1)^{10} \cdot (12-2) \cdot (2-0) + (-1)^{11} \cdot (0-1) \cdot (4-0) +$$ $$+ (-1)^{12} \cdot (0 + 6) \cdot (7-0) = -2 \cdot 20 + 18 \cdot 45 + 3 \cdot 20 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 4 +$$ $$+ 6 \cdot 7 = -40 + 810 + 60 + 20 + 4 + 42 = 896. $$

[свернуть]

Пример 6 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 7 & 9 & 12 & 0 \\ 4 & 5 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -5 \\ 11 & -7 & 9 & 8 \end{pmatrix}.$$

Решение

Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по $2-$й и $4-$й строкам: $$\begin{vmatrix} 7 & 9 & 12 & 0 \\ 4 & 5 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -5 \\ 11 & -7 & 9 & 8 \end{vmatrix} = (-1)^{(2 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 11 & -7 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(2 + 4) + (1 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 9 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 9 & 0 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + (-1)^{(2 + 4) + (1 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 11 & 8 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 9 & 12 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(2 + 4) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 9 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(2 + 4) + ( 2 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 8 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 12 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + (-1)^{(2 + 4) + (3 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 9 & 8 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} =$$ $$= (-1)^9 \cdot (-28-55) \cdot (-60-0) + (-1)^{10} \cdot (36 + 33) \cdot (-45-0) +$$ $$+ (-1)^{11} \cdot (32-11) \cdot (36-24) + (-1)^{11} \cdot (45-21) \cdot (-35-0) +$$ $$+ (-1)^{12} \cdot (40 + 7) \cdot (28-0) + (-1)^{13} \cdot (-24-9) \cdot (14-0) = -83 \cdot 60-69 \cdot $$ $$ \cdot 45-21 \cdot 12 + 24 \cdot 35 + 47 \cdot 28 + 33 \cdot 14 = -4980-3105-252 + 840 +$$ $$+ 1316 + 462 = -5719. $$

[свернуть]

Пример 7 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} -5 & 7 & 12 & 0 \\ 11 & -2 & 6 & 10 \\ 2 & 15 & 1 & -3 \\ 4 & -1 & 14 & 5 \end{pmatrix}.$$

Решение

Разложим определитель данной матрицы по теореме Лапласа по $1-$му и $2-$му столбцам: $$\begin{vmatrix} -5 & 7 & 12 & 0 \\ 11 & -2 & 6 & 10 \\ 2 & 15 & 1 & -3 \\ 4 & -1 & 14 & 5 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 2) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 11 & -2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 14 & 5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 2 & 15 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 10 \\ 14 & 5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 10 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(2 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 2 & 15 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 14 & 5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(2 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(3 + 4) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 15 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 6 & 10 \end{vmatrix} = (-1)^6 \cdot (10-77) \cdot (5 + 42) +$$ $$+ (-1)^7 \cdot (-75-14) \cdot (30-144) + (-1)^8 \cdot (5-28) \cdot (-18-10) +$$ $$+ (-1)^8 \cdot (165 + 4) \cdot (60-0) + (-1)^9 \cdot (-11 + 8) \cdot (-36-0) +$$ $$+ (-1)^{10} \cdot (-2-60) \cdot (120-0) = -67 \cdot 47-89 \cdot 110 + 23 \cdot 28 + 169 \cdot 60-$$ $$-3 \cdot 36-62 \cdot 120 = -3149-9790 + 644 + 10140-108-7440 = -9703. $$

[свернуть]

Смотрите также

  1. А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 3, §3, «Упражнения» (стр. 150)
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 1, §6, «Вычисление определителей» (стр. 51)
  3. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.

Теорема Лапласа

Тест на проверку знаний о теореме Лапласа и определений, необходимых для формулировки данной теоремы.

М1814. О периодической последовательности

Задача из журнала «Квант»(2002 год, 2 выпуск)

Условие

Пусть $a$, $m_1$, $m_2$ $-$ натуральные числа, причем $a$ взаимно просто как с $m_1$, так и с $m_2$. Обозначим через $r_n$ остаток от деления целой части числа $\frac{a^n}{m_1}$ на $m_2$ $(n = 0, 1, 2, \ldots)$.

Докажите, что последовательность $\{r_n\}$ является периодической.

Доказательство

Так как НОД$(a$, $m_1)$ $=$ НОД$(a$, $m_2) = 1$, то НОД$(a$, $m_1m_2) = 1$. Пусть $n_0 -$ какое-нибудь натуральное число, для которого $a^{n_0}$ при делении на $m_1m_2$ дает в остатке $1$. (Если НОД$(a$, $m_1m_2) = 1$, то такое число обязательно существует. Можно, например, положить $n_0 = \varphi(m_1m_2)$, где $ \varphi(m) — $ функция Эйлера $-$ см. статью В.Сендерова и А.Спивака «Малая теорема Ферма» в «Кванте» №1 за 2000 год.)

Тогда $a^{n_0} = Qm_1m_2 + 1$ для некоторого целого числа $Q$. Теперь при любом $n \geqslant n_0$ имеем $$\left[\frac{a^n}{m_1}\right] = \left[\frac{a^{n_0}a^{n-n_0}}{m_1}\right] = \left[\frac{(Qm_1m_2 + 1)a^{n-n_0}}{m_1}\right] =$$ $$= \left[a^{n-n_0}Qm_2 + \frac{a^{n-n_0}}{m_1}\right] = a^{n-n_0}Qm_2 + \left[\frac{a^{n-n_0}}{m_1}\right]$$ ($\left[x\right]$ обозначает целую часть числа $x$).

Таким образом, остатки чисел $\left[\frac{a^n}{m_1}\right]$ и $\left[\frac{a^{n-n_0}}{m_1}\right]$ при делении на $m_2$ совпадают, т.е. $r_n = r_{n-n_0}$. Значит, последовательность $\{r_n\}$ имеет период длины $n_0$ (доказано также и то, что этот период начинается с самого начала последовательности).

Возникает вопрос о длине наименьшего периода последовательности $\{r_n\}$. Верно ли, что если в качестве $n_0$ взять наименьшее натуральное число такое, что $a^{n_0}$ при делении на $m_1m_2$ дает в остатке $1$, то $n_0$ и будет длиной наименьшего периода? Как показывает пример $a = 3$, $m_1 = 13$, $m_2 = 2$ (здесь $n_0 = 3$, а последовательность $\{r_n\}$ сплошь состоит из нулей), ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен. Однако если дополнительно предположить, например, что $m_2 \geqslant m_1$, то ответ будет утвердительным (читателю предлагается доказать это в качестве упражнения).

Н.Осипов

M1815. О перпендикулярах в неплоском четырехугольнике

Задача из журнала «Квант»(2002 год, 2 выпуск)

Условие

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам неплоского четырехугольника $ABCD$ взаимно перпендикулярны.

Докажите, что они пересекаются.

Решение

Инструментом решения является теорема Менелая для пространственного четырехугольника, утверждающая, что точки $X,$ $U,$ $Y,$ $V,$ взятые на сторонах четырехугольника $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DA$ или их продолжениях, лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} = 1.$

Для доказательства теоремы Менелая продолжим прямые $XU$ и $YV$ до пересечения с $AC.$ Точки $X,$ $U,$ $Y,$ $V$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда все три прямые пересекаются в одной точке $P$ либо параллельны (рис. 1).

Рис. 1

Но в этом случае, применяя теорему Менелая к треугольникам $ABC$ и $ACD,$ получаем $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$ и $\frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} \cdot \frac{AP}{PC} = 1.$ Перемножая эти равенства, получим требуемое соотношение.

Пусть теперь $XY$ – перпендикуляр к сторонам $AB$ и $CD,$ $UV$ – перпендикуляр к $AD$ и $BC.$ При ортогональной проекции на плоскость, параллельную $XY$ и $UV,$ прямой угол между прямыми $AB$ и $XY$ остается прямым. Поэтому четырехугольник $ABCD$ проецируется в прямоугольник $A’B’C’D’,$ а прямые $XY$ и $UV$ – в параллельные его сторонам прямые $X′Y′$ и $U′V′$ (рис. 2). Очевидно, что $\frac{A’X’}{X’B’} \cdot \frac{B’U’}{U’C’} \cdot \frac{C’Y’}{Y’D’} \cdot \frac{D’V’}{V’A’} = 1.$

Рис. 2

Следовательно, $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} = 1,$ и по теореме Менелая точки $X,$ $Y,$ $U,$ $V$ лежат в одной плоскости. Отсюда сразу следует утверждение задачи.

А.Заславский

Переклад