Таблица эквивалентных

Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые.  Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида $[\frac{0}{0}]$) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базы$x\rightarrow 0$  в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу $x\rightarrow 0$, для простоты записи  будем писать знак $\sim$ вместо $_{x\rightarrow 0}^{\sim}\textrm{}$.

Докажем некоторые утверждения:

1)    $lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=$$lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{x}{arcsinx}}=$$lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{siny}{y}} =1$

2)  $lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=$$lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{\frac{x}{cosx}}$$=\frac{lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}}{lim_{x\rightarrow 0}cosx}=$$\frac{1}{1}=1$

3)  $lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}/2}=$$lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}/2}=$$lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{2(\frac{x}{2})^{2}}=$$lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=$$lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=$$1\cdot 1=1$

4) $lim_{x\rightarrow 0}\frac{log_{a}(1+x)}{\frac{x}{lna}}=$$lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{1}{x}log_{a}(1+x)=$$lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot log_{a}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$$lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{lna}=$$lim_{x\rightarrow 0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=$$ln\; lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$$ln\; e=1$

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Дополните утверждение

   • Понятие эквивалентные обычно используют, когда две функции (бесконечно большие, бесконечно малые) или (бесконечно большие, бесконечно малые)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Какими свойствами обладает отношение эквивалентности:

   • Рефлексивность
   • Симметричность
   • Асимметричность
   • Транзитивность
   • Нетранзитивность
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   3 правильных ответа
3. Задание 3 из 6

   3.

   Соедините, создавая верные утверждения

   Элементы сортировки

   • $$x$$
   • $$1$$

   • f~g=>g~f

   • f~g, g~h =>f~h

   • $$arctg x~$$

   • $$lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=$$

   • свойство симметричности

   • свойство транзитивности

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Найдите предел:

   $$lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+4x)}{sin3x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   
   Используются формулы:

   $$ln(1+\alpha )\sim \alpha ; sin\alpha \sim \alpha$$
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Установите соответствия:

   Элементы сортировки

   • $$x$$
   • $$xlna$$
   • $$\frac{x^{2}}{2}$$
   • $$\alpha x$$

   • $$sh x\sim$$

   • $$a^{x-1\sim }$$

   • $$1-cosx\sim$$

   • $$(1+x)^{\alpha }-1\sim$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Для того, чтобы две бесконечно малые были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было

   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=1$$
   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=0$$
   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=\infty$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Эквивалентные функции

Определение :
Если $\exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})$в которой определены $f,g$  и $h:f(x)=g(x)h(x)$,
причём $lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f$ и $g$- эквивалентные при $x\rightarrow x_{0}$ и пишут $f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g$
$lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1$
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при $x\rightarrow x_{0}$

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  $\alpha$  и $\beta$ были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$
Положив  $\beta-\alpha =\gamma$, будем иметь  $\frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }$
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   $\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1$ , то $\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0$  , то есть$\gamma$ есть бесконечно малая высшего порядка, чем  $\alpha$ и  $\beta \sim \alpha$ . Обратно, если дано, что $\beta \sim \alpha$ , то $\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0$ , а тогда  $\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1$.
С помощью этого критерия, например, видно, что при $x\rightarrow 0$ бесконечно малая  $sin\: x$  эквивалентна $x$, а $\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x$.
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  $\frac{\beta }{\alpha }$. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Если$f\sim f_{1}$ , а $g\sim g_{1}$ , при $x\rightarrow x_{0}$ , то если $\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}$ , то  $\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$ и $lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) $lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=$$\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}$$\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=$$\frac{1}{4}$

2) $lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=$$\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}$$=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=$$lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=$$lim_{t\rightarrow 0}1=1$

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
• Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Дополните утверждение

   • Понятие эквивалентные обычно используют, когда две функции (бесконечно большие, бесконечно малые) или (бесконечно большие, бесконечно малые)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Какими свойствами обладает отношение эквивалентности:

   • Рефлексивность
   • Симметричность
   • Асимметричность
   • Транзитивность
   • Нетранзитивность
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   3 правильных ответа
3. Задание 3 из 6

   3.

   Соедините, создавая верные утверждения

   Элементы сортировки

   • $$x$$
   • $$1$$

   • f~g=>g~f

   • f~g, g~h =>f~h

   • $$arctg x~$$

   • $$lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=$$

   • свойство симметричности

   • свойство транзитивности

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Найдите предел:

   $$lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+4x)}{sin3x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   
   Используются формулы:

   $$ln(1+\alpha )\sim \alpha ; sin\alpha \sim \alpha$$
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Установите соответствия:

   Элементы сортировки

   • $$x$$
   • $$xlna$$
   • $$\frac{x^{2}}{2}$$
   • $$\alpha x$$

   • $$sh x\sim$$

   • $$a^{x-1\sim }$$

   • $$1-cosx\sim$$

   • $$(1+x)^{\alpha }-1\sim$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Для того, чтобы две бесконечно малые были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было

   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=1$$
   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=0$$
   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=\infty$$
   Правильно
   

   Неправильно