векторное поле

Перед прочтением данной статьи прошу вас ознакомиться с предыдущими тесно связанными темами в одном из учебников:

«Криволинейные интегралы» — Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 491-493
«Спрямляемые кривые» — В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 220-222

Пусть в область $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано векторное поле, то есть каждой точке из $\Omega$ поставлен в соответствии вектор из ${\mathbb{R}}^{n}$ . Это можно записать следующим образом,

$F(x)=({\varphi}_{1}({x}_{1},…,{x}_{n}),…, {\varphi}_{n}({x}_{1},…,{x}_{n})),$
где $F$ — векторное поле и $F(x)\in {\mathbb{R}}^{n}$ .

Если функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные и непрерывно дифференцируемы в области, то поле $F$ также непрерывно и непрерывно дифференцировано в области $\Omega$ .

Определение

Если в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано непрерывное векторное поле $F=({\varphi}_{1},…,{\varphi}_{n})$ , а $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ — уравнение кусочно гладкой кривой $\Gamma$ , которая лежит в области $\Omega$ , то интеграл:

$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)), r^\prime(t))\,dt\equiv$ $\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(({\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)),…,{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t))), r^\prime(t))\,dt\equiv$ $\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}[{\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{1}(t)+…+{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{n}(t)]\,dt.$

называется криволинейным интегралом II рода от векторного поля $F$ вдоль кривой $\Gamma$ .

Рассмотрим также частный случай когда $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$ . В этом случае можно обозначить $F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ , где $\Gamma: r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha \leq t\leq \beta)$ . Тогда интеграл имеет следующий вид:
$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr) =\int\limits_{\Gamma}^{}P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz=$ $=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t),z(t))x^\prime(t) +Q(x(t),y(t),z(t))y^\prime(t)+$ $+R(x(t),y(t),z(t))z^\prime(t)]\,dt.$

Свойства криволинейных интегралов II рода:

Рассматривать свойства будем для области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$ , так как для $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ $(n\geq 3)$ изменения очевидны.

Криволинейный интеграл II рода не зависит от способа параметризации кривой

[spoilergroup]

Доказательство

Пусть $\Gamma: r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ и $\Gamma: \rho=\rho(\tau)$ $(a\leq\tau\leq b)$ , то $t=t(\tau), t(a)=\alpha, t(b)=\beta$ и $t$ — кусочно гладкая непрерывно дифференцируемая функция переменной $\tau$ . Тогда:

$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t),z(t))x^\prime(t)+$ $+Q(x(t),y(t),z(t))y^\prime(t)+$ $+R(x(t),y(t),z(t))z^\prime(t)]\,dt=$ $=\int\limits_{a}^{b}[P(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))x^\prime(t(\tau))+$ $+Q(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))y^\prime(t(\tau))+$ $+R(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))\cdot z^\prime(t(\tau))]\,d\tau=$ $=\int\limits_{a}^{b}[P(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{x}^\prime(\tau)+$ $+Q(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{y}^\prime(\tau)+$ $+R(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{z}^\prime(\tau)]\,d\tau=$ $=\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,d\rho),$

где $r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ , $\rho(\tau)=(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))$ $(a\leq\tau\leq b)$ .

[свернуть]

[/spoilergroup]

Замечание.

Это доказательство имеет место только в том случае, когда $r=r(t)$ и $\rho=\rho(\tau)$ определяют одну и ту же кривую $\Gamma$ и имеют одну и ту же ориентацию.
Криволинейный интеграл II рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак

$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=-\int\limits_{{\Gamma}^{-}}^{}(F,\,dr).$
[spoilergroup]

Доказательство

Пусть $\Gamma: r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ и ${\Gamma}^{-}: \rho=r(\alpha+\beta-t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ . Тогда $\rho^\prime(t)=-r^\prime(\alpha+\beta-t)$ . Отсюда получаем:

$\int\limits_{{\Gamma}^{-}}^{}(F,\,dr)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(\rho(t)),\rho^\prime(t))\,dt=$ $=-\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(r(\alpha+\beta-t)),r^\prime(\alpha+\beta-t))\,dt =$ $=-\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(r(\tau)),r^\prime(\tau))\,d\tau=-\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr).$

[свернуть]

[/spoilergroup]
Криволинейный интеграл II рода аддитивен относительно кривой

Если $\Gamma=({\Gamma}_{1},…,{\Gamma}_{N})$ , то:

$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=\sum_{i=1}^{N}\int\limits_{{\Gamma}_{i}}^{}(F,\,dr).$

Доказательство

Следует из определения и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования

Физический смысл

Работа силы

Пусть $F(x,y,z)$ — силовое поле в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$ и пусть кусочно гладкая кривая ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega$ задана уравнением $r=r(t)$ , $\alpha\leq t\leq\beta$ . Если интерпретировать это уравнение, как закон движения материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать работу. В том случае когда материальная точка движется в постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной вектору $l$ , $|l|=1$ , работа силы равна $(F,l)\Delta s$ , где $\Delta s$ — пройденный путь.

Изображение вектора силы в случае движения точки по произвольной кусочно гладкой кривой

Теперь рассмотрим случай, когда поле силы непостоянно и точка движется в силовом поле по произвольной кусочно гладкой кривой ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega:r=r(t)$ , $(\alpha\leq t\leq\beta)$ . Пусть $T$ — произвольное разбиение отрезка $[\alpha,\beta]$ точками $\alpha={t}_{0}<{t}_{1}<…<{t}_{n}=\beta$ и ему соответствует разбиение кривой ${\Gamma}_{AB}$ точками $A={A}_{0}\prec{A}_{1}\prec…\prec{A}_{n}=B$ .

При движении по дуге ${\Gamma}_{{A}_{i-1}{A}_{i}}$ заменим силу $F$ постоянной силой $F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i}))$ , а само движение по этой дуге заменим движением по касательной с постоянной скоростью $r^\prime({t}_{i})$ . Тогда работа силы приближенно равна $(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i})\Delta{t}_{i})$ .

Работа силы при движении материальной точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$ приближенно равна следующей сумме:

${\mathcal{A}}_{T}=\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i},$

где $\Delta{t}_{i}={t}_{i}-{t}_{i-1}$ .

Предел суммы ${\mathcal{A}}_{T}$ при мелкости разбиения $l(T)$ , стремящейся к нулю, естественно назвать работой силы $F$ при движении точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$ . Таким образом, работа силы:

$\mathcal{A}=\lim_{l(T)\to 0}\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i}=$ $=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(x(t),y(t),z(t)),r^\prime(t))\,dt=\int\limits_{{\Gamma}_{AB}}^{}(F,\,dr).$

Литература

Криволинейные интегралы второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 3
Выберите верные утверждения.
Криволинейный интеграл II рода …
- не зависит от способа параметризации кривой
- зависит от способа параметризации кривой
- не изменяется при изменении ориентации кривой на противоположную
- при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак
- аддитивен относительно кривой
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенные слова
- Если интерпретировать уравнение кусочно гладкой (кривой), как (закон движения) материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать работу.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Выберите криволинейный интеграл второго рода
- $\int\limits_{\alpha}^{\beta}[{\varphi}_{1}({x}_{1}(t),...,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{1}(t)+\\+...+{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),...,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{n}(t)]\,dt.$
- $\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt$
- $\intop_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Криволинейные интегралы второго рода

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: векторное поле

Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Определение

Свойства криволинейных интегралов II рода:

Криволинейный интеграл II рода не зависит от способа параметризации кривой

Замечание.

Криволинейный интеграл II рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак

Криволинейный интеграл II рода аддитивен относительно кривой

Доказательство

Физический смысл

Работа силы

Литература

Криволинейные интегралы второго рода

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Криволинейные интегралы второго рода

Средний результат
Ваш результат