криволинейные интегралы

Критерий потенциальности поля

Теорема

Для того чтобы дифференцируемое в области $G$ поле было потенциальным необходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}.(1)$$

Доказательство:

Необходимость:

Пусть поле $(P(x, y), Q(x, y))$ непрерывно дифференцируемо и потенциально. Тогда
$$P(x, y) = \frac{\partial U(x,y))}{\partial x},\quad Q(x, y) = \frac{\partial U(x,y))}{\partial y},$$ откуда
$$\frac{\partial Q(x,y))}{\partial x}=\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x\,\partial y},\quad
\frac{\partial P(x,y))}{\partial y}=\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y\,\partial x}.$$

Так как производные $\frac{\partial P}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial x}$ непрерывны, то смешанные производные $U_{x,y},\,U_{y,x}$ также непрерывны, а следовательно, равны. Условие (1) выполнено в области $G$.

Достаточность:

Пусть поле $(P, Q)$ задано в односвязной области $G \subset \mathbb{R}^{2}$ и выполнено условие (1).

Возьмем произвольную простую замкнутую ломанную $L \subset G$. Так как область $G$ односвязна, то ограничиваемая ломанной $L$ область $\Omega \subset G$ и к ней применима формула Грина:
$${ \underset { L }{ \int } \left(P\,dx+Q\,dy\right)}={ \underset { \Omega }{ \iint } (\frac{\partial Q}{\partial x} — \frac{\partial P}{\partial y})dx\,dy}=0.(2)$$

Таким образом, интеграл (2) равен нулю для любой простой замкнутой ломанной $L$.

Покажем, что интеграл (2) равен нулю для любой простой замкнутой ломанной (даже имеющей точки самопересечения).

Для трехзвенной ломанной интеграл (2) всегда равен нулю, если эта ломанная замкнута. Если три её вершины не лежат на одной прямой, то трехзвенная ломанная будет простой и по доказанному интеграл (2) равен нулю. Если же все три вершины лежат на одной прямой, то и в этом случае интеграл равен нулю(иллюстрация 1).

Докажем, что интеграл (2) равен нулю для любой $n$-звенной замкнутой ломанной индукцией по числу звеньев.

Пусть выполнено условие (1) и интеграл (2) равен нулю по любой замкнутой ломанной, число звеньев которой меньше, чем $n$. Покажем тогда, что он равен нулю и для любой $n$-звенной ломанной. Если ломанная $L(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n},A_{1})$ простая, то это уже доказано. Пусть у $L$ есть точки самопересечения. Предположим, что два звена, $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k+1}$, пересекаются. Тогда либо они пересекаются в единственной точке $B$(иллюстрация 1), либо эти два звена пересекаются по целому отрезку. В этом случае точки $A_{1},\,A_{2},\,A_{k},\,A_{k+1}$ лежат на одной прямой(иллюстрация 2).

Рассмотрим случай, когда звенья пересекаются в единственной точке. За последующими рассуждениями проще следить по иллюстрации 2. В случаях 1 и 2 ломанная $L$ будет объединением замкнутых ломанных $L_{1}(B, A_{k+1},\cdots,A_{n},A_{1},B)$ и $L_{2}(B, A_{2},\cdots,A_{k},B)$. Количество звеньев $L_{1}$ и $L_{2}$ меньше $n$. По предположению индукции интеграл (2) по каждой из этих ломанных равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по их объединению ломанной $L$.

Аналогично рассматривается и второй случай, когда точки $A_{1},A_{2},A_{k},A_{k+1}$ лежат на одной прямой и отрезки $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k+1}$ пересекаются. Без ограничения общности можно считать, что точка $A_{k}$ лежит на отрезке $A_{1}A_{2}$. Тогда $L$ есть объединение замкнутых ломанных $L_{1}(A_{k}, A_{k+1},\cdots,A_{n},A_{1}, A_{k})$ и $L_{2}(A_{k},A_{2},\cdots,A_{k+1},A_{k})$, имеющих меньше, чем $n$ звеньев. Интеграл (2) по $L_{1}$ и $L_{2}$ равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по ломанной $L$.

Так как интеграл (2) равен нулю на любой замкнутой ломанной $L\subset G$, то в силу теоремы об условиях независимости величины криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования, поле $(P,Q)$ будет потенциальным. Что и требовалось доказать!

Спойлер

Определить, потенциально или нет поле $(P(x,y),Q(x,y))$, где $P(x,y)=3+2xy,$ $Q(x,y)=x^{2} — 3y^{2}.$

Решение:

Областью определения поля является вся плоскость $\mathbb{R}^2$. Так как данная область односвязна, можно воспользоваться критерием потенциальности поля. Тогда найдем $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$ и $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$.

$$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=2x$$
$$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=2x$$

$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=2x=\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$, значит, по критерию потенциальности поля, поле $(P(x,y),Q(x,y))$ потенциально!

[свернуть]

Спойлер

Определить, потенциально или нет поле $(P(x,y),Q(x,y))$, где $P(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \quad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.$

Решение:

Областью определения поля является является плоскость $\mathbb{R}^2$ с выколотой точкой $(0,0)$. Значит, область не односвязна. Рассмотрим единичную окружность $С_{R}$, заданную уравнениями $x=\cos{t},\,y=\sin{t},\,0 \leq t \leq 2\pi.$ Тогда
$${ \underset { C_{R} }{ \int }\left(P\,dx+Q\,dy\right)}={\underset{C_{R}}{\int}\frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}} = \iint\limits_{0}^{2\pi}dt=2\pi.$$
И тогда, по теореме об условиях независимости величины криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования, поле $(P(x,y),Q(x,y))$ не потенциально!

[свернуть]

Спойлер

Показать, что непрерывно дифференцируемое при $x^2+y^2>0$ плоское векторное поле $$P(x, y)=-\frac{\omega }{2\cdot\pi}\cdot\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, Q(x, y)=\frac{\omega }{2\cdot\pi}\cdot\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$$
удовлетворяет условию $$\frac{\partial P(x,y))}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y))}{\partial x},$$ но не является потенциальным про $\omega \neq 0$.

Решение:

Условие выполняется, так как $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}\cdot\frac{y^{2}-x^{2}}{(y^{2}+x^{2})^{2}}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$
Рассмотрим окружность $C_{R}$, заданную уравнениями $x=R\cdot\cos{t},\, y=R\cdot\sin{t},\, 0 \leq t \leq2\cdot\pi$. Тогда
$${ \underset { C_{R} }{ \int } P\,dx+Q\,dy} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}\cdot{\underset{C_{R}}{\int}\frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}\cdot\int_{0}^{2\cdot\pi}dt=\omega,$$
и в силу теоремы об условиях независимости величины криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования поле $(P,Q)$ не может быть потенциальным.

Критерий потенциальности неприменим, так как поле определено в неоднозначной области $G={(x,y): x^{2} + y^{2}>0}.$

[свернуть]

Список использованной литературы:

Критерий потенциальности поля

Предлагаем пройти тест на закрепление знаний по данной статье

Таблица лучших: Критерий потенциальности поля

максимум из 8 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Перед прочтением данной статьи прошу вас ознакомиться с предыдущими тесно связанными темами в одном из учебников:

Пусть в область $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано векторное поле, то есть каждой точке из $\Omega$ поставлен в соответствии вектор из ${\mathbb{R}}^{n}$. Это можно записать следующим образом,

$$F(x)=({\varphi}_{1}({x}_{1},…,{x}_{n}),…, {\varphi}_{n}({x}_{1},…,{x}_{n})),$$
где $F$ — векторное поле и $F(x)\in {\mathbb{R}}^{n}$.

Если функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные и непрерывно дифференцируемы в области, то поле $F$ также непрерывно и непрерывно дифференцировано в области $\Omega$.

Определение

Если в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано непрерывное векторное поле $F=({\varphi}_{1},…,{\varphi}_{n})$, а $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ — уравнение кусочно гладкой кривой $\Gamma$, которая лежит в области $\Omega$, то интеграл:

$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)), r^\prime(t))\,dt\equiv$$ $$\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(({\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)),…,{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t))), r^\prime(t))\,dt\equiv$$ $$\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}[{\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{1}(t)+…+{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{n}(t)]\,dt.$$

называется криволинейным интегралом II рода от векторного поля $F$ вдоль кривой $\Gamma$.

Рассмотрим также частный случай когда $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$. В этом случае можно обозначить $F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$, где $\Gamma: r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha \leq t\leq \beta)$. Тогда интеграл имеет следующий вид:
$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr) =\int\limits_{\Gamma}^{}P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t),z(t))x^\prime(t) +Q(x(t),y(t),z(t))y^\prime(t)+$$ $$+R(x(t),y(t),z(t))z^\prime(t)]\,dt.$$

Свойства криволинейных интегралов II рода:

Рассматривать свойства будем для области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$, так как для $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ $(n\geq 3)$ изменения очевидны.

Криволинейный интеграл II рода не зависит от способа параметризации кривой

[spoilergroup]

Доказательство

Пусть $\Gamma: r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ и $\Gamma: \rho=\rho(\tau)$ $(a\leq\tau\leq b)$, то $t=t(\tau), t(a)=\alpha, t(b)=\beta$ и $t$ — кусочно гладкая непрерывно дифференцируемая функция переменной $\tau$. Тогда:

$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t),z(t))x^\prime(t)+$$ $$+Q(x(t),y(t),z(t))y^\prime(t)+$$ $$+R(x(t),y(t),z(t))z^\prime(t)]\,dt=$$ $$=\int\limits_{a}^{b}[P(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))x^\prime(t(\tau))+$$ $$+Q(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))y^\prime(t(\tau))+$$ $$+R(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))\cdot z^\prime(t(\tau))]\,d\tau=$$ $$=\int\limits_{a}^{b}[P(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{x}^\prime(\tau)+$$ $$+Q(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{y}^\prime(\tau)+$$ $$+R(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{z}^\prime(\tau)]\,d\tau=$$ $$=\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,d\rho),$$

где $r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$, $\rho(\tau)=(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))$ $(a\leq\tau\leq b)$.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Замечание.

Это доказательство имеет место только в том случае, когда $r=r(t)$ и $\rho=\rho(\tau)$ определяют одну и ту же кривую $\Gamma$ и имеют одну и ту же ориентацию.
Криволинейный интеграл II рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак

$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=-\int\limits_{{\Gamma}^{-}}^{}(F,\,dr).$$
[spoilergroup]

Доказательство

Пусть $\Gamma: r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ и ${\Gamma}^{-}: \rho=r(\alpha+\beta-t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$. Тогда $\rho^\prime(t)=-r^\prime(\alpha+\beta-t)$. Отсюда получаем:

$$\int\limits_{{\Gamma}^{-}}^{}(F,\,dr)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(\rho(t)),\rho^\prime(t))\,dt=$$ $$=-\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(r(\alpha+\beta-t)),r^\prime(\alpha+\beta-t))\,dt =$$ $$=-\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(r(\tau)),r^\prime(\tau))\,d\tau=-\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr).$$

[свернуть]

[/spoilergroup]
Криволинейный интеграл II рода аддитивен относительно кривой

Если $\Gamma=({\Gamma}_{1},…,{\Gamma}_{N})$, то:

$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=\sum_{i=1}^{N}\int\limits_{{\Gamma}_{i}}^{}(F,\,dr).$$

Доказательство

Следует из определения и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования

Физический смысл

Работа силы

Пусть $F(x,y,z)$ — силовое поле в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$ и пусть кусочно гладкая кривая ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega$ задана уравнением $r=r(t)$, $\alpha\leq t\leq\beta$. Если интерпретировать это уравнение, как закон движения материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать работу. В том случае когда материальная точка движется в постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной вектору $l$, $|l|=1$, работа силы равна $(F,l)\Delta s$, где $\Delta s$ — пройденный путь.

Изображение вектора силы в случае движения точки по произвольной кусочно гладкой кривой

Теперь рассмотрим случай, когда поле силы непостоянно и точка движется в силовом поле по произвольной кусочно гладкой кривой ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega:r=r(t)$, $(\alpha\leq t\leq\beta)$. Пусть $T$ — произвольное разбиение отрезка $[\alpha,\beta]$ точками $\alpha={t}_{0}<{t}_{1}<…<{t}_{n}=\beta$ и ему соответствует разбиение кривой ${\Gamma}_{AB}$ точками $A={A}_{0}\prec{A}_{1}\prec…\prec{A}_{n}=B$.

При движении по дуге ${\Gamma}_{{A}_{i-1}{A}_{i}}$ заменим силу $F$ постоянной силой $F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i}))$, а само движение по этой дуге заменим движением по касательной с постоянной скоростью $r^\prime({t}_{i})$. Тогда работа силы приближенно равна $(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i})\Delta{t}_{i})$.

Работа силы при движении материальной точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$ приближенно равна следующей сумме:

$${\mathcal{A}}_{T}=\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i},$$

где $\Delta{t}_{i}={t}_{i}-{t}_{i-1}$.

Предел суммы ${\mathcal{A}}_{T}$ при мелкости разбиения $l(T)$, стремящейся к нулю, естественно назвать работой силы $F$ при движении точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$. Таким образом, работа силы:

$$\mathcal{A}=\lim_{l(T)\to 0}\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i}=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(x(t),y(t),z(t)),r^\prime(t))\,dt=\int\limits_{{\Gamma}_{AB}}^{}(F,\,dr).$$

Литература