Processing math: 100%

Метка: верхняя грань

Теорема о существовании верхней и нижней грани

Если X≠∅ и X — ограничено сверху (снизу) в R, то ∃supX<∞.(∃infX>−∞)

◻ Докажем случай для supremum’а.

Пусть E — множество всех верхних границ множества X, то есть X≤E. По аксиоме непрерывности ∃c∈R:X≤c≤E.

71

X≤c≤E;⇒X≤c;X≤c≤E;⇒c≤E;}⇒c=supX<∞. ◼

Аналогично доказывается существование infimum’а.

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.8.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.45.

Подробнее на:

Wikiversity

Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число M называется точной верхней гранью (границей), если:

1) для ∀x∈X:x≤M;

2) для ∀M′<M:∃x′∈X:x′>M′; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

M=supX (M — супремум X).

Число M называется точной нижней гранью (границей), если:

1) для ∀x∈X:x≥M;

2) для ∀M′>M:∃x′∈X:x′<M′; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

M=infX (M — инфимум X).

(если множество X неограничено сверху, то пишем supX=+∞; если множество X неограничено снизу, то пишем supX=−∞.)

Примечание: если M не является точной верхней гранью множества X  и ∀x∈X:x≤M, тогда ∃M′<M:∀x′∈X:x′>M′;

если M не является точной нижней гранью множества X  и ∀x∈X:x≥M, тогда ∃M′>M:∀x′∈X:x′<M′.

Примеры:

1)X=[1;2):

supX=2∉X;   infX=1.

2)X={12;122;123;…};

supX=maxX=12∈X;

infX=0∉X.

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет sup и inf, то он единственный.

◻ Рассмотрим для sup.

 Пусть множество X  имеет 2 точных верхних грани:  M1 и M2.

41

Допустим M1<M2.

Так как M1<M2 и M2=supX, то  ∃x′∈X:x′>M1, что противоречит тому факту, что M1=supX.   ◼

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

1) Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел r, удовлетворяющих равенству r2<2.

Решим неравенство r2.

x∈(−√2;√2)

supr=√2 Докажем это:

1)∀x∈r:x≤√2. Так и есть, √2 является верхней границей множества r.

2)∀M′<√2:∃x′∈r:x′>M′;

Действительно, всякие рациональные x<√2 (и при этом x>−√2) будут элементами множества r, причём ∀ϵ:∃x∈r:√2—x<ϵ. То есть какое бы рациональное число из r мы не взяли, можно взять рациональное число из r так, что оно будет находиться ближе к √2 на числовой прямой.

2) Пусть {−x} — множество чисел, противоположных числам x∈{x}.

Доказать, что inf{−x}=sup{x}.

◻ Пусть (−x) — элемент из множества {−x} противоположный элементу x из множества {x}.

Распишем точную нижнюю грань для множества {−x} по определению:

1) ∀(−x)∈{−x}:(−x)≥M;  ⇒   ∀x∈{x}:x≤−M;

2) ∀M′>M:∃(−x′)∈{−x}:(−x′)<M′⇒

  ⇒∀(−M′)<−M:∃x′∈{x}:x′>−M′.

Получили:

1)  ∀x∈{x}:x≤−M;

2)  ∀(−M′)<−M:∃x′∈{x}:x′>−M′.

Тоесть: −M=sup{x}  ⇒  M=−sup{x}.

Так как M=inf{−x}, inf{−x}=—sup{x}.  ◼

Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

 Wikipedia