Processing math: 100%

М1874. Все решения уравнения

Задача из журнала «Квант» (2004 год, 1 выпуск)

Условие задачи

Найдите все решения уравнения xyyx=1 в натуральных числах x и y.

Ответ: x=2, y=1 и x=3, y=2.

Решение

Пусть x=2. Тогда 2y=y2+1. Поскольку y2+1 не делится на 4, то решений, кроме (2,1), нет.
При y=1 имеем x=2.
Пусть y=2. Тогда Пусть (x+1)(x1)=2x, откуда (x1)=2, x=3,
Пусть x3, y3. Рассмотрим функцию
f(t)=atta=(atat)((ata)a1++tat),
где a3 — целое число, ta. Имеем f(a)=0; поскольку φ(t)=atat — возрастающая неотрицательная функция, то и f(t) возрастает.
Получили: при ta+1
f(t)f(a+1)=aa+1(a+1)a1.
Последнее неравенство строгое: при aa+1(a+1)a=1 было бы ma=2, где m ϵ Z.
Окончательно: xyyx1.
Рассуждая несколько по-иному, нежели выше, можно сразу получить числовую оценку выражения atta. Именно, пусть a3, z ϵ N, Тогда, используя легко доказываемые неравенства (1+t)1t<e<2,8, получаем
aa+z(a+z)a=aa(az((1+za)az)z)> >aa(azez)aa(ae)>330,2>1.
Вот и все.

В. Произволов, В. Сендеров