М1874. Все решения уравнения

Задача из журнала «Квант» (2004 год, 1 выпуск)

Условие задачи

Найдите все решения уравнения $x^{y} — y^{x} = 1$ в натуральных числах $x$ и $y$.

Ответ: $x = 2$, $y = 1$ и $x = 3$, $y = 2$.

Решение

Пусть $x = 2$. Тогда $2^{y} = y^{2} + 1$. Поскольку $y^{2} + 1$ не делится на $4$, то решений, кроме $(2, 1)$, нет.
При $y = 1$ имеем $x = 2$.
Пусть $y = 2.$ Тогда Пусть $\left(x + 1 \right) \cdot \left(x — 1 \right) = 2^{x},$ откуда $\left(x — 1 \right) = 2,$ $x = 3,$
Пусть $x \geqslant 3$, $y \geqslant 3.$ Рассмотрим функцию
$$f(t) = a^{t} — t^{a} = \left(a^{\frac{t}{a}} — t \right) \cdot \left(\left(a^{\frac{t}{a}} \right)^{a — 1} + … + t^{a — t} \right),$$
где $a \geqslant 3$ — целое число, $t \geqslant a$. Имеем $f(a) = 0;$ поскольку $\varphi(t) = a^{\frac{t}{a}} — t$ — возрастающая неотрицательная функция, то и [latex]f(t)[/latex] возрастает.
Получили: при $t \geqslant a + 1$
$$f(t) \geqslant f(a + 1) = a^{a + 1} — (a + 1)^{a} \geqslant 1.$$
Последнее неравенство строгое: при $a^{a + 1} — (a + 1)^{a} = 1$ было бы $m \cdot a = 2,$ где $m$ $\epsilon$ $\mathbb{Z}.$
Окончательно: $x^{y} — y^{x} \neq 1.$
Рассуждая несколько по-иному, нежели выше, можно сразу получить числовую оценку выражения $a^{t} — t^{a}.$ Именно, пусть $a \geqslant 3,$ $z$ $\epsilon$ $\mathbb{N},$ Тогда, используя легко доказываемые неравенства $(1 + t)^{\frac{1}{t}} < e < 2,8,$ получаем
$$a^{a+z} — \left(a+z \right)^{a} = a^{a} \cdot \left(a^{z} — \left(\left(1 + \frac{z}{a} \right)^{\frac{a}{z}} \right)^{z} \right) >$$ $$>a^{a} \cdot \left(a^{z} — e^{z} \right) \geqslant a^{a} \cdot \left(a — e \right) > 3^{3} \cdot 0,2 > 1.$$
Вот и все.

В. Произволов, В. Сендеров

М1734. Уравнения

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие

Докажите, что уравнение [latex]\displaystyle \bigl (\frac{\sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  = \cos x [/latex] на [latex] \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)[/latex] не имеет решений при [latex] \beta \leqslant 3 [/latex], но имеет единственное решение при [latex]\beta  > 3 [/latex].

Решение

Такие задачи обычно сводятся к исследованию функции с помощью производных. Трудность состоит в том, чтобы суметь удачно выбрать исследуемую функцию.
Исследование уравнения задачи мы начнем с очевидного замечания: при [latex] \beta \leqslant 0 [/latex] оно решений не имеет. В самом деле, поскольку [latex] \sin x < x [/latex] при [latex]x > 0 [/latex], то при [latex] \beta \leqslant 0 [/latex] на всем интервале  [latex] \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)[/latex] выполнено неравенство [latex]\displaystyle \bigl (\frac{\sin \: x}{x} \bigm) ^\beta \geqslant 1  [/latex].
Пусть [latex] \beta > 0 [/latex] . Заметим, что функция   [latex] \displaystyle \bigl (\frac{\sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  — \cos\: x [/latex] обращается в ноль в тех же точках интервала [latex] \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm),[/latex] что и функция $$ \displaystyle f(x) = \sin \:x \: \cos^{ \gamma} x — x,$$ где [latex]\gamma =- \frac{1}{\beta}< 0[/latex].
Изучим поведение [latex] f(x)[/latex] на полуинтервале [latex] \displaystyle \lbrack 0;\frac{\pi}{2} \bigm)[/latex]. Имеем: [latex]f(0)=0[/latex], [latex]f'(0)=0[/latex], [latex]f(x) \to +\infty[/latex] при [latex]\displaystyle x \to \frac{\pi}{2}[/latex] . Далее, [latex]f»(x)=-\sin\:x \cdot \phi(x)[/latex], где $$\phi(x) = (1+\gamma)^{2}\: \cos^{\gamma}\:x — \gamma(\gamma-1) \cos^{\gamma-2}x$$.
Заметим, что [latex] \phi(x)[/latex] имеет на  [latex]\displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)[/latex] не более одного корня. Найдем знак функции [latex] \phi(x)[/latex] в окрестности нуля. Функция [latex] \phi(x)[/latex] положительна в некоторой окрестности точки [latex] 0[/latex] , если
$$\gamma(\gamma-1) < (1+\gamma)^{2},\\
2\gamma + 1 > -\gamma,\\
1 > -3\gamma,\beta>3.$$

Легко видеть, что при [latex] 0 <\beta \leqslant 3[/latex] на всем интервале  [latex]\displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)[/latex] выполняется неравенство [latex] \phi(x) < 0[/latex].
Теперь мы знаем ход изменений функции  [latex] f(x)[/latex] на рассматриваемом интервале (рис. а и б). Тем самым утверждение задачи доказано.

Замечание. На рисунках в и г изображены графики функции  [latex] f(x)[/latex] при  [latex] \beta < 0 [/latex] ; полезно проследить за изменением вида этого графика при изменении числа [latex] \beta [/latex] от  [latex] 0 [/latex] до  [latex] +\infty [/latex], а затем от [latex] 0 [/latex] до [latex] -\infty [/latex].