Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Перед прочтением данной статьи желательно ознакомиться с темой Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Вычисление криволинейных интегралов II рода

Если $\Gamma$ — кусочно гладкая кривая заданная уравнением $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ , а функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные вдоль кривой $\Gamma$ , то существует криволинейный интеграл II рода $\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)$ и справедливо равенство:
$\int\limits_{\Gamma}(F,\,dr)=$ $=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sum\limits_{i=1}^{n}{\varphi}_{i}({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t)){x’}_{i}(t)\,dt.$

Примеры

Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)$ , где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$ , которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$ .
Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$ . Отсюда,

$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)=$ $=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin t(-\sin t)-\cos t\cdot \cos t\right]\,dt=$ $=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$ $=-\left( \frac{\pi}{2}-0 \right)=-\frac{\pi}{2}.$
Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(ydx-xdy)$ , где $\Gamma$ — отрезок, который начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$ .
Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=1-t, y=t$ $(0\leq t\leq1)$ . Отсюда,

$\int\limits_{\Gamma}^{}\left(y\,dx-x\,dy\right)=$ $=\int\limits_{0}^{1}[t(-1)-(1-t)\cdot 1]\,dt=$ $=-\int\limits_{0}^{1}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(1-0)=-1.$
Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)$ , где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$ , которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$ .
Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$ . Отсюда,

$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)=$ $=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin t(-\sin t)+\cos t\cdot \cos t]\,dt=$ $=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[{cos}^{2}t-{sin}^{2}t]\,dt =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2t\,dt=$ $=\frac{\sin 2t}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}=0.$

Литература

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)$ , где $\Gamma$ — отрезок, который начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$ .
Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=1-t, y=t$ $(0\leq t\leq1)$ . Отсюда,
$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)=?$
Правильно

Неправильно

$\int\limits_{\Gamma}(y\,dx+x\,dy)=\int\limits_{0}^{1}\left[t\cdot (-1)+(1-t)\cdot 1\right]\, dt=$ $= \int\limits_{0}^{1}[1-2t]\,dt=\left (t-t^2 \right ) \bigg|_{0}^{1}=1-1-(0-0)=0.$
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 3
Расположите криволинейные интегралы по возрастанию их значения.
- $\int\limits_{0}^{1}(y\,dx+x\,dy),$ $\Gamma: x=1-t, y=t, \quad 0\leq t\leq1$
- $\int\limits_{0}^{1}(({y}^{2}-{z}^{2})\,dx+2yz\,dy-{x}^{2}\,dz),$ $\Gamma: x=t, y={t}^{2}, z={t}^{3}, \quad 0\leq t\leq1$
- $\int\limits_{0}^{1}(2xy\,dx+{x}^{2}\,dy),$ $\Gamma: y=x, \quad 0\leq x\leq1$
- $\int\limits_{-1}^{1}((4x+y)\,dx+(x+4y)\,dy),$ $\Gamma: y={x}^{4}, \quad -1\leq t\leq1$
Правильно

Неправильно

Внимательно посмотрите примеры приведенные выше

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 3

Сопоставьте приведенные ниже криволинейные интегралы второго рода с их значениями

Элементы сортировки

$-\frac{14}{15}$
$\frac{4}{3}$
$-2\pi$

$\int\limits_{-1}^{1}(({x}^{2}-2xy)\,dx+({y}^{2}-2xy)\,dy),$

$\Gamma: x=t, y={t}^{2}, \quad -1\leq t\leq1$

$\int\limits_{0}^{2}(({x}^{2}+{y}^{2})\,dx+({x}^{2}-{y}^{2})\,dy),$

$\Gamma: x=t, y=1-\left|1-t\right|, \quad 0\leq t\leq2$

$\int\limits_{0}^{2\pi}((2-y)\,dx+x\,dy),$

$\Gamma: x=t-\sin t, y=1-\cos t, \quad 0\leq t\leq2\pi$

Таблица лучших: Вычисление криволинейных интегралов второго рода

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение и свойства кратного интеграла Римана

Необходимые понятия

Разбиения

Пусть множество $G$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$ . Совокупность измеримых по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$ и попарно непересекающихся множеств $G_{1}, …, G_{N}$ называется разбиением $G$ , если $G=\bigcup_{i=1}^{N}G_{i}.$ Разбиение будем обозначать буквой $T$ .

Пусть $d\left ( G_{i} \right )$ есть диаметр множества $G_{i}$ , т. е. $d\left ( G_{i} \right )=\underset{x\in G_{i}, y\in G_{i}}{\sup}\rho \left ( x,y \right ).$

Число $l\left ( T \right )=\underset{i=\overline{1,N}}{\max d\left(G_{i} \right )}$ будем называть мелкостью разбиения $T$ .

Разбиение $T=\left \{ G_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$ , будем называть продолжением разбиения ${T}’=\left \{ {G}’_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$ , и писать $T\prec{T}’$ , если каждое из множеств $G_{i}$ является подмножеством некоторого множества ${G}’_{k}$ . Очевидно, что из $T\prec{T}’$ следует, что $l\left ( T \right )\leq l\left ( {T}’ \right )$ .

Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу

Пусть функция $f\left ( x \right )$ определена на измеримом по Жордану множестве $G$ , а $T$ есть разбиение множества $G:~ T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}.$ Возьмем в каждом из множеств $G_{i}$ по точке $\xi _{i}$ . Выражение $\sigma _{T}\left ( f, \xi, G\right )=\sum_{i=1}^{N}f\left ( \xi _{i} \right )m\left ( G_{i} \right)$ называется интегральной суммой Римана функции $f\left ( x \right )$ на множестве $G$ , соответствующей разбиению $T$ и выборке $\xi =\left ( \xi _{1}, …, \xi _{N} \right )$ . Иногда для краткости сумма Римана обозначается просто через $\sigma _{T}$ .

Если функция $f\left ( x \right )$ ограничена на множестве $G$ , то для любого разбиения $T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}$ , определены числа $m_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\inf}f\left ( x \right ), ~~M_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\sup }f\left ( x \right ).$

Выражения $S_{T}=\sum_{i=1}^{N}M_{i}m\left ( G_{i} \right ),~~s_{T}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}m\left ( G_{i} \right )$ называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению $T$ .

Определение

Число $I$ называется пределом интегральной суммы $\sigma _{T}$ при мелкости разбиения $l\left ( T \right )\rightarrow 0$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдется $\delta > 0$ такое, что для любого разбиения $T$ с мелкостью $l\left ( T \right )< \delta$ и для любой выборки выполняется неравенство $\left | I-\sigma _{T}\left ( f, \xi , G \right ) \right |< \varepsilon.$

Если число $I$ есть предел интегральной суммы при $l\left ( T \right )\rightarrow 0$ , то будем писать $I=\underset{l\left ( T \right )\rightarrow 0}{\lim }\sigma _{T}$ , само число $I$ будем называть кратным интегралом Римана от функции $f\left ( x \right )$ по множеству $G$ , а функцию $f\left ( x \right )$ — интегрируемой на множестве $G$ . Для кратного интеграла Римана используются следующие обозначения: $\underset{G}{\int}f\left(x\right)dx,~~\underset{n}{\underbrace{\underset{G}{\int…\int }}}f\left ( x_{1}, …, x_{n} \right )dx_{1}…dx_{n}.$

В случае $n=2$ интеграл называется двойным, а в случае $n=3$ — тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла: $\underset{G}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy,~~\underset{G}{\iiint} f\left ( x,y,z \right)dxdydz.$

Свойства кратного интеграла

Свойство 1.

Справедливо равенство

$\underset{G}{\int}1\cdot dx=m\left ( G \right )$ .

Спойлер

$\square$ Для любого разбиения $T$ выполнено равенство $\sigma_{T}\left ( 1,\xi, G \right )=\sum_{i=1}^{N}m\left ( G_{i} \right ). ~~ \blacksquare$

[свернуть]

Свойство 2.

Если

$f\left ( x \right )> 0$ и

$f\left ( x \right )$ — интегрируемая на измеримом по Жордану множестве

$G$ функция, то

$\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\geq 0$ .

Спойлер

Свойство 3.

Если

$f_{1}\left ( x \right )$ и

$f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве

$G$ функции, а

$\alpha$ и

$\beta$ — произвольные вещественные числа, то и функция

$\alpha f_{1}\left ( x \right )+\beta f_{2}\left ( x \right )$ интегрируема на

$G$ , причем

$\underset{G}{\int }\left ( \alpha f_{1}\left ( x \right ) + \beta f_{2}\left ( x \right ) \right )dx=$

$=\alpha \underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx+\beta \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$

Спойлер

Свойство 4.

Если

$f_{1}\left ( x \right )$ и

$f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве

$G$ функции и

$f_{1}\left ( x \right )\leq f_{2}\left ( x \right )$ при

$x\in G$ , то

$\underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx\leq \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$

Спойлер

Свойство 5.

Если функция

$f\left ( x \right )$ непрерывна на измеримом связном компакте

$G$ , то найдется точка

$\xi \in G$ такая, что

$\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$

Спойлер

$\square$ Если $m\left ( G \right )=0$ , то равенство очевидно. Пусть $m\left ( G \right )>0$ , $\mu =\underset{x\in G}{\min} f,~M=\underset{x \in G}{\max}f$ . Тогда $\mu\leq f\left ( x \right )\leq M$ при $x \in G$ , $\mu m\left ( G \right )\leq \underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq Mm\left ( G \right ).$

Следовательно, $\mu \leq \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq M.$

Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на нем значения $\mu$ и $M$ , принимает и все промежуточные значения, а поэтому существует точка $\xi \in G$ такая, что $f\left ( \xi \right )= \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx. ~~\blacksquare$

[свернуть]

Свойство 6.

Если

$\left \{ G_{k} \right \}, k=\overline{1,m}$ , есть разбиение множества

$G,$ то функция

$f\left ( x \right )$ интегрируема на множестве

$G$ в том и только том случае, когда она интегрируема на каждом из множеств

$G_{k},$ причем

$\underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx= \sum_{k=1}^{m}\underset{G_{k}}{\int}f\left ( x \right )dx.$

Свойство 7.

Произведение интегрируемых на измеримом множестве

$G$ функций есть интегрируемая на множестве

$G$ функция.

Спойлер

Свойство 8.

Если функция

$f\left ( x \right )$ интегрируема на измеримом множестве

$G$ , то функция

$\left | f\left ( x \right ) \right |$ также интегрируема и

$\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\leq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx.$

Спойлер

Примеры

Пример 1

Определить какой знак имеет интеграл $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-x^2-y^2}dxdy.$

Спойлер

В силу свойства аддитивности кратного интеграла, имеем: $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy=$ $=\underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+\underset{1\leq x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+$ $+\underset{2\leq x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy.$
Для каждой точки $\left ( x,y \right )$ из круга $x^2+y^2\leq 1$ найдется точка $\left ( \bar{x},\bar{y} \right )$ из кольца $1\leq x^2+y^2\leq 2$ такая, что $\sqrt[3]{1-\left ( x^2+y^2 \right )}+\sqrt[3]{1-\left ( \bar{x^2}+\bar{y^2 }\right )}=0$ , поэтому приходим к выводу, что $\underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+\underset{1\leq x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~=$
$=\underset{x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy,$ $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~=\underset{2\leq x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy.$
Так как $\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}< 0$ , когда $\left ( x,y \right )\in \left \{ 2\leq x^2+y^2 \leq 4\right \}$ , то (принимая во внимание последнее равенство) исследуемый интеграл отрицателен.

При решении данного примера мы воспользовались тем, что интеграл Римана интегрируемой функции $f$ не зависит от способа разбиения области интегрирования и выбора точек $\xi_{i}$ в каждой из ячеек разбиения.

[свернуть]

Пример 2 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)

Вычислить площадь фигуры, занимающей область $D$ , ограниченную линиями $x=y^2$ и $x+y=2$ .

Спойлер

Если плоская фигура занимает область $D\subset XOY$ , то ее площадь может быть вычислена с помощью двойного интеграла по его свойству о значении интеграла от функции, тождественно равной единице на области интегрирования. В результате получается формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла: $S_{D}=\underset{D}{\iint}dS~~(*)$

Строим область $D$ и записываем ее системой неравенств: $D:\left\{\begin{matrix}-2\leq y\leq 1\\ y^{2}\leq x\leq 2-y\end{matrix}\right.$ По формуле $(*)$ вычисляем площадь: $S_{D}=\underset{D}{\iint }dS=\underset{D}{\iint }dxdy=\int\limits_{-2}^{1}dy\int\limits_{y^{2}}^{2-y}=$ $=\int\limits_{-2}^{1}dy~\cdot~x \Big|_{y^2}^{2-y}=\int\limits_{-2}^{1}\left ( 2-y-y^2 \right )dy=\left ( 2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3} \right )\Big|_{-2}^1=$ $2\left ( 1+2 \right )-\frac{1}{2}\left ( 1-4 \right )-\frac{1}{3}\left ( 1+8 \right )=4.5$

Ответ: $S_{D}=4.5$ (кв. ед.).

[свернуть]

Пример 3 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)

Пусть цилиндрический брус ограничен сверху непрерывной поверхностью $z=f\left (x,y \right)$ , снизу — плоскостью $z=0$ , с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $Oz$ . Если указанная цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости $Oxy$ квадрируемую замкнутую область $D$ , то объем $V$ бруса вычисляется по формуле: $V=\underset{D}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy.~~(**)$

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $z=x^2+y^2,~y=x^2,~y=1,~z=0.$

Спойлер

Тело ограничено сверху параболоидом вращения $z=x^2+y^2$ , снизу — плоскостью $Oxy$ , с боков — цилиндрической поверхностью $y=x^2$ и плоскостью $y=1$ , вырезающими из плоскости $Oxy$ квадрируемую замкнутую область $D=\left \{ -\leq x\leq 1,~x^2 \leq y \leq 1 \right \}.$ В точках множества $D$ , симметричных относительно оси $Oy$ , функция $z=x^2+y^2$ принимает равные значения, поэтому $V=2\underset{x^2\leq y\leq 1}{\underset{0\leq x\leq 1}{\iint}}\left ( x^2+y^2 \right )dxdy=2\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{1}\left ( x^2+y^2 \right )dy=$ $=2\int\limits_{0}^{1}\left ( x^2-x^4+\frac{1}{3}-\frac{x^6}{3} \right )dx=\frac{88}{105}.$

[свернуть]

Литература

Кратный интеграл Римана

Тест: Кратный интеграл Римана.

Задание 1 из 6

1.

Установить соответствие

Элементы сортировки

Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ - интегрируемые на множестве $G$ функции, а $\alpha$ и $\beta$ - произвольные вещественные числа, то и функция $\alpha f_{1}\left ( x \right )+\beta f_{2}\left ( x \right )$ интегрируема на $G$ , причем $\underset{G}{\int }\left ( \alpha f_{1}\left ( x \right ) + \beta f_{2}\left ( x \right ) \right )dx=$ $=\alpha \underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx+\beta \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$
Если $f\left ( x \right )> 0$ и $f\left ( x \right )$ - интегрируемая на измеримом по Жордану множестве $G$ функция, то $\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\geq 0$ .
Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ - интегрируемые на множестве $G$ функции и $f_{1}\left ( x \right )\leq f_{2}\left ( x \right )$ при $x\in G$ , то $\underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx\leq \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$

Свойство аддитивности

Свойство интеграла от положительной функции

Свойство монотонности

Задание 2 из 6

2.
Если функция $f\left ( x \right )$ интегрируема на измеримом множестве $G$ , то функция $\left | f\left ( x \right ) \right |$ также интегрируема и …
- $\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\leq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx$
- $\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |= \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx$
- $\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\geq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 6

3.
Если функция $f\left ( x \right )$ _______ на измеримом связном компакте $G$ , то найдется точка $\xi \in G$ такая, что $\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Вставьте пропущенное слово
- Мелкость разбиения- это наибольший (диаметр) множеств.
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 6

5.
Какие из приведенных ниже интегралов равны площади фигуры, изображенной на рисунке.
- $\int\limits_{0}^{3}f\left ( x \right )dx$
- $\underset{S}{\iint} f\left ( x \right )dxdy$
- $\int\limits_{0}^{3}dx\int\limits_{0}^{f\left ( x \right )}dy$
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Установите правильную последовательность в доказательстве свойства:
Если функция $f\left ( x \right )$ непрерывна на измеримом связном компакте $G$ , то найдется точка $\xi \in G$ такая, что $\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$
- Если $m\left ( G \right )=0$ , то равенство очевидно. Пусть $m\left ( G \right )>0$ , $\mu =\underset{x\in G}{\min} f,~M=\underset{x \in G}{\max}f$ . Тогда $\mu\leq f\left ( x \right )\leq M$ при $x \in G$ , $\mu m\left ( G \right )\leq \underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq Mm\left ( G \right ).$ Следовательно,
- $\mu \leq \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq M.$
- Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на нем значения $\mu$ и $M$ , принимает и все промежуточные значения, а поэтому существует точка $\xi \in G$ такая, что
- $f\left ( \xi \right )= \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx.$
Правильно

Неправильно

Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$ , где R-рациональная функция.

Спойлер

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

[свернуть]

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки :

Спойлер

$latex t=e^{x}$ ; $latex x=\ln t$ ; $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

[свернуть]

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$ , $latex \cos x$ и $latex \sinh x$ , $latex \cosh x$ »

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 234-242
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78
Ещё больше примеров можно найти здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$

Если $\normalsize m<n$ , то:

$\small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$ $+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$ $+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$\frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r \epsilon \mathbb{N} и \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k \epsilon \mathbb{N}$

$r=1: \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$

$r\neq1: \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$ , $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$ $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$ $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$ $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Спойлер

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

$\large \frac{2x+3}{x^{2}-9}=\frac{2x+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}.$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

$\large A(x+3)+B(x-3)=2x+3$

$\large Ax+3A+Bx-3B=2x+3$

$\large (A+B)x+3A-3B=2x+3$

Следовательно,

$\large \begin{cases}A+B=2 \\ 3A-3B=3 \end{cases}, \begin{cases}A=\frac{3}{2} \\ B=\frac{1}{2} \end{cases}.$

Тогда

$\Large \frac{2x+3}{x^{2}-9}=\frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3}.$

Теперь легко вычислить исходный интеграл

$\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx=\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x-3}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+3}=\frac{3}{2}\ln\left|x-3\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x+3\right|+C=$

$\large =\frac{1}{2}\ln\left|(x-3)^{3}(x+3)\right|+C.$

[свернуть]

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Спойлер

Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.

$\large \frac{x^{2}-2}{x+1}=x-1-\frac{1}{x+1}$

Получаем

$\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx=\int(x-1-\frac{1}{x+1})dx=\int xdx-\int dx-\int\frac{dx}{x+1}=$

$\large =\frac{x^{2}}{2}-x-\ln\left|x+1\right|+C.$

[свернуть]

Литература:

Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.

Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

Интегрирование рациональных функций

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 2
Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций
- Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
- Разложение знаменателя на простейшие дроби.
- Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- Интегрирование простейших рациональных дробей.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 2
Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 2

Выбрать равенства, соответствующие интегралам

Элементы сортировки

$\ln\left | x-a \right |$
$\frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
$\frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
$\frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
$\frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

$\int \frac{A}{x-a}dx$

$\int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

$\int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

$\int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

$\int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

максимум из 6 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Вычисление криволинейных интегралов II рода

Примеры

Литература

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Необходимые понятия

Разбиения

Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу

Определение

Свойства кратного интеграла

Примеры

Пример 1

Пример 2 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)

Пример 3 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)

Литература

Кратный интеграл Римана

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

6.

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Список литературы:

Дополнительные материалы :

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Литература:

Интегрирование рациональных функций

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций