Спойлер
- Утверждение 1
- Утверждение 2
- Утверждение 3
- Утверждение 4
- Утверждение 5
- Утверждение 6
- Утверждение 7
- Утверждение 8
- Тест
- Источники
[свернуть]
Утверждение 1
Рассмотрим многочлен степени n, т. е. функцию вида
Pn(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0, an≠0.
Эта функция непрерывна на R.
Спойлер
Рациональная функция, т. е. функция вида f(x)=Pn(x)Qm(x), где Pn(x),Qm(x) — многочлены степени n и m соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена Qm(x).
Спойлер
Утверждение 2
Если x∈(—π2,π2) и x≠0, то cosx<sin xx<1 (1).
Спойлер
Следствие
Первый замечательный предел
Замечание
Из неравенства(2)следует, что tg x>x при x∈(0,π2) (3).
Утверждение 3
Для всех x∈Rсправедливо неравенство
|sinx|⩽
Спойлер
Утверждение 4
Функции y=\sin{x} и y=\cos{x} непрерывны на всем множестве \mathbb{R}.
Спойлер
Следствие
Функция tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} — непрерывная при x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}
Утверждение 5
Рассмотрим несколько функции с их графиками
- y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]строго возрастает и непрерывна
Спойлер
- y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right]строго спадает и непрерывна
Спойлер
- y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)строго возрастает и непрерывна
Спойлер
- y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)строго спадает и непрерывна
Спойлер
Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно
- y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]
Спойлер
- y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]
Спойлер - y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}
Спойлер - y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}
Спойлер
Утверждение 6
Функция y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1 — монотонна непрерывна на \mathbb{R}, то есть
\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}
и тогда функция y=\log_{a}{x} — монотонна и непрерывна(как обратная)
Утверждение 7
Функции, заданные формулами
sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Эти функции определены и непрерывны на \mathbb{R}, причем sh\ x— нечетная функция, а ch\ x — четная функция.
Спойлер
Из определения функций sh\ x и ch\ x следует, что
sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,
ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x}
Функция th\ x определена и непрерывна на \mathbb{R}, а функция cth\ x определена и непрерывна на множестве \mathbb{R} с выколотой точкой x= 0. Обе функции нечетные.
Спойлер
Утверждение 8
Пусть функции u(x) и v(x) определены на промежутке\Delta =\left ( a,b \right ), причем для всехx \in \Delta выполняется условие u(x)>0, Тогда функцию y, определяемую формулой
y=e^{v(x)\ln{u(x)}}
будем называть показательно-степенной и обозначать
y=u(x)^{v(x)}
Таким образом, исходя из определения
u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}
Если u,v — функции, непрерывные на \Delta, то функция u^v непрерывна на \Delta как суперпозиция непрерывных функций e^t и t = v(x)\ln{u(x)}.
Тест
Непрерывность элементарных функций
