Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число M называется точной верхней гранью (границей), если:
1) для ∀x∈X:x≤M;
2) для ∀M′<M:∃x′∈X:x′>M′; (любое число меньшее M верхней гранью не является).
M=supX (M — супремум X).
Число M называется точной нижней гранью (границей), если:
1) для ∀x∈X:x≥M;
2) для ∀M′>M:∃x′∈X:x′<M′; (любое число меньшее M верхней гранью не является).
M=infX (M — инфимум X).
(если множество X неограничено сверху, то пишем supX=+∞; если множество X неограничено снизу, то пишем supX=−∞.)
Примечание: если M не является точной верхней гранью множества X и ∀x∈X:x≤M, тогда ∃M′<M:∀x′∈X:x′>M′;
если M не является точной нижней гранью множества X и ∀x∈X:x≥M, тогда ∃M′>M:∀x′∈X:x′<M′.
Примеры:
1)X=[1;2):
supX=2∉X; infX=1.
2)X={12;122;123;…};
supX=maxX=12∈X;
infX=0∉X.
Единственность верхних и нижних точных граней
Если множество имеет sup и inf, то он единственный.
Рассмотрим для sup.
Пусть множество X имеет 2 точных верхних грани: M1 и M2.
Допустим M1<M2.
Так как M1<M2 и M2=supX, то ∃x′∈X:x′>M1, что противоречит тому факту, что M1=supX. 
Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.
Практические задания:
1) Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел r, удовлетворяющих равенству r2<2.
Решим неравенство r2.
x∈(−√2;√2)
supr=√2 Докажем это:
1)∀x∈r:x≤√2. Так и есть, √2 является верхней границей множества r.
2)∀M′<√2:∃x′∈r:x′>M′;
Действительно, всякие рациональные x<√2 (и при этом x>−√2) будут элементами множества r, причём ∀ϵ:∃x∈r:√2—x<ϵ. То есть какое бы рациональное число из r мы не взяли, можно взять рациональное число из r так, что оно будет находиться ближе к √2 на числовой прямой.
2) Пусть {−x} — множество чисел, противоположных числам x∈{x}.
Доказать, что inf{−x}=sup{x}.
Пусть (−x) — элемент из множества {−x} противоположный элементу x из множества {x}.
Распишем точную нижнюю грань для множества {−x} по определению:
1) ∀(−x)∈{−x}:(−x)≥M; ⇒ ∀x∈{x}:x≤−M;
2) ∀M′>M:∃(−x′)∈{−x}:(−x′)<M′⇒
⇒∀(−M′)<−M:∃x′∈{x}:x′>−M′.
Получили:
1) ∀x∈{x}:x≤−M;
2) ∀(−M′)<−M:∃x′∈{x}:x′>−M′.
Тоесть: −M=sup{x} ⇒ M=−sup{x}.
Так как M=inf{−x}, inf{−x}=—sup{x}.
Тест "Верхняя и нижняя грани множества"
Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.
Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Источники:
Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)
В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.
Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.
Подробнее на:
