Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Спойлер

Комплексным числом $z$ называется число вида $z=a+bi$ , где $a$ и $b$ – действительные числа, $i$ – так называемая мнимая единица. Число $a$ называется действительной частью $(Rez)$ комплексного числа, число $b$ называется мнимой частью $(Imz)$ комплексного числа.

[свернуть]

Сложение

Пусть $z_1,z_2\in C$ , $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ .
Тогда $z=$ $z_1 + z_2$ получается простым приведением подобных:
$z_1 + z_2=$ $z_1 + z_2=$ $a_1+b_1i+a_2+b_2i=$ $(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$

Спойлер

$z_1=3+2i$ и $z_2=1+4i$
$z_1 + z_2=$ $3+2i + 1+4i=$ $(3+1)+(2+4)i=$ $4+6i$

[свернуть]

Вычитание

Пусть $z_1,z_2\in C$ , $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ .
Тогда $z=$ $z_1 — z_2$ получается аналогично со сложением:
$a_1+b_1i — (a_2+b_2i)=$ $(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$

Спойлер

$z_1=6+i$ и $z_2=5+2i$
$z_1 — z_2=$ $6+i — (5+2i)=$ $(6-5)+(1-2)i=$ $1-i$

[свернуть]

Умножение

Пусть $z_1,z_2\in C$ , $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ .
Тогда $z=$ $z_1 \times z_2=$ $(a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)$ .
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
$(a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)=$ $(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$

Спойлер

$z_1=2+i$ и $z_2=3+2i$
$z_1 — z_2=$ $(2+i)(3+2i)=$ $(6 — 2)+(4+3)i=$ $4+7i$

[свернуть]

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть $z_1,z_2\in C$ , $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ .
$z_1$ называют комплексно сопряженным к $z_2$ , если $a_1 = a_2$ и $b_1 = -b_2$ , т.е. $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_1-b_1i$ .
И при перемножении $z_1 \times z_2=$ ${a_1}^2-{b_1}^2$
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть $z_1,z_2\in C$ , $z_1=a_1+b_1i$ и $z_2=a_2+b_2i$ .
Тогда $z=$ $\frac{z_1}{z_2}=$ $\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}$
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
$\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}=$ $\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}$

Спойлер

$z_1=3+i$ и $z_2=3+2i$
$\frac{z_1}{z_2}=$ $\frac{3+i}{3+2i}=$ $\frac{(3+i)(3-2i)}{9+4}=$ $\frac{9+2-6i+3i}{13}=$ $\frac{11-3i}{13}$

[свернуть]

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Спойлер

Перед дальнейшим прочтением материала просмотрите информацию о тригонометрической форме комплексного числа

Любое комплексное число $z$ можно представить в виде: $|z|(\cos\phi+ i\sin\phi)$ , где $|z|$ — это модуль комплексного числа, а $\phi=arg z$ — это аргумент комплексного числа. $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

[свернуть]

Умножение

Произведением двух комплексных чисел $z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)$ и $z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)$ будет комплексное число вида $z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)$

Спойлер

$z_1=3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$ и $z_1=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})$
$z_1 \times z_2=$ $3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) \times 2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=$ $6(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})$

[свернуть]

Деление

Частным двух комплексных чисел $z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)$ и $z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)$ будет комплексное число вида $z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)$

Возведение в степень

$\forall z \in C$ $z^n=$ ${r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n=$ $r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))$

Спойлер

$z=3\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})$
$z^10=$ ${3\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=$ ${27}^5{(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=$ ${27}^5(\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3})=$ ${27}^5(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})=$

[свернуть]

Извлечение корня

$\forall z \in C$ $\sqrt[n]{z}=$ $\sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}=$ $\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n})$ , $k=\overline{0,n-1}$

Спойлер

$z=8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})$
$\sqrt[3]{8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=$ $2\sqrt[3]{(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=$ $2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}), k=\{0,1,2\}$
$2(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9})$ — это первый корень.
$2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})=$ $2(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9})$ — это второй корень
$2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})=$ $2(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9})$ — это третий корень

[свернуть]

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Метка: Действия над комплексными числами в тригонометрической форм

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение

Вычитание

Умножение

Определение комплексно сопряженного числа

Деление

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение

Деление

Возведение в степень

Извлечение корня

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

Литература

Средний результат
Ваш результат