Метка: дифференцирование

Дифференцируемость обратной функции

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если $latex y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна на $latex \Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0)$ и если $latex \exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y)$ (обратное к $latex y=f(x)$) дифференцируемо в точке $latex y_0=f(x_0)$, причём $latex \varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$

Доказательство:

$latex x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha$
$latex x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta$
По теореме об обратной функции функция $latex f$ имеет обратную $latex x=\varphi(y)$, $latex y\epsilon [\alpha;\beta]$, $latex \varphi(x)$ — строго монотонна и непрерывна.
$latex y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}= $
$latex \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2 $

Примеры

1) Доказать, что:

$latex (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1&s=2$
y=arcsin(x), график
График функции $latex y=arcsinx$. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

$latex y=\arcsin x, |y|<\frac{\pi}{2}$
$latex x=\sin y=\varphi(y)$
$latex \varphi'(y)=\cos y$
$latex \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y} = $
$latex \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&s=2$

2) Доказать, что:

$latex ( \textrm{arctg} x)’ = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R} &s=2$
y=arctg(x), график

Решение:

$latex y=\textrm{arctg} x$
$latex x=\textrm{tg} y=\varphi(y)$
$latex \varphi(y)=\frac{1}{\cos^2 y}&s=1$
$latex \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}= $
$latex \cos^2 y=\frac{1}{1+\textrm{tg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}&s=2$

Список литературы:

Тест: дифференцируемость обратной функции

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.


Спойлер

Таблица лучших: Тест: дифференцируемость обратной функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
[свернуть]