Задача из журнала «Квант» (1991 год, 9 выпуск)

Условие

У левого края тележки длиной $L=0,2$ м и массой $M = 1$ кг лежит кубик массой $m=0,3$ кг (см. рисунок). Кубику толчком придают горизонтальную скорость $v_{0} = 1$ м/с вправо. Считая, что тележка в начальный момент неподвижна, определите, на каком расстоянии от левого края тележки будет находиться кубик после того, как проскальзывание его относительно тележки прекратится. Коэффициент трения кубика о дно тележки $\mu = 0,1$. Удары кубика о стенки считать абсолютно упругими. Тележка едет по столу без трения.

Решение

Проще всего решать эту задачу, исходя из энергетических соображений. Согласно закону сохранения энергии, убыль кинетической энергии системы равна выделившемуся количеству теплоты, которое, в свою очередь, равно работе силы трения скольжения на тормозном пути $l$:

$$\Delta E_{k}=\frac{\left(M+m\right) u^{2}}{2}-\frac{m v_{0}^{2}}{2}=Q=F_{тр} l=-\mu m g l.$$ Скорость системы и после прекращения проскальзывания легко найти из закона сохранения импульса $$m v_{0}=\left(M+m\right) u.$$ После простых преобразований получим $$l=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g\left(1+\frac{m}{M}\right)} \approx 0,38 m.$$ Значит, кубик остановится на расстоянии $$x=L-\left(l-L\right)=0,02 m$$ от левого края тележки.

А. Зильберман

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$

Задача из журнала «Квант» (2003 год, 1 выпуск)

Условие

Из тонкой жесткой проволоки согнули угол $90^{\circ}$, одну из сторон угла закрепили в вертикальном положении, другую — в горизонтальном (рис. $1$). На каждую из сторон надели маленькую шайбу массой $M$ и соединили шайбы легким стержнем длиной $L$. Вначале этот стержень почти вертикален, затем от малого толчка система приходит в движение. Найдите максимальные скорости каждой из шайб. Трение отсутствует.

Решение

Нижняя шайба вначале разгоняется, но к концу пути она должна остановиться; следовательно, где-то в промежуточном положении ее скорость будет максимальной. Запишем закон сохранения энергии (см.рис. $2$):

$$\frac{Mv^2}{2}+\frac{Mu^2}{2} = MgL(1 — \cos \alpha)$$ и соотношение между скоростями: $$v\cos \alpha = u\sin \alpha.$$

Тогда получим

$$u^2(1 + \tg^2 \alpha ) = 2gL(1 — \cos \alpha ),$$ или $$u^2 = 2gL(1 — \cos \alpha )\cos ^ 2\alpha .$$

Возьмем производную по углу и приравняем ее к нулю:

$$-2\cos \alpha _{0}\sin \alpha _{0} + 3\cos ^2\alpha _{0}\sin \alpha _{0} = 0.$$

Подходит только $\cos \alpha _{0} = 2/3$, поэтому

$$u_{m} = u(\alpha _{0}) = \sqrt{\frac{8}{27}gL} \approx 0,55\sqrt{gL}.$$

Когда верхняя шайба почти достигнет своего положения внизу, скорость второй станет равной нулю, и вся энергия достанется верхней. В этот момент

$$v = v_{m} = \sqrt{2gL} \approx 1,41\sqrt{gL}.$$

Р. Александров

Условие

В баллоне содержится очищенный газ, но неизвестно какой. Что бы поднять температуру этого газа на один градус при постоянном давлении требуется $958,4$ дж, а при постоянном объёме — $704,6$ дж. Что это за газ?

Решение

При нагревании газа при постоянном объёме затрачиваемая энергия идёт только на изменение внутренней энергии газа, а при нагревании при постоянном давлении — ещё и на совершение работы. Запишем закон сохранения энергии для обоих случаев:

$$\begin{equation} mc_v\Delta t = \Delta W.\label{eq:ref1}\end{equation}$$
$$\begin{equation} mc_p\Delta t = \Delta W+A.\label{eq:ref2}\end{equation}$$

Здесь $c_p$ — теплоёмкость газа при постоянном давлении (т.е. количество тепла, которое необходимо для нагревания $1$ кг газа при постоянном давлении), $c_v$ — теплоёмкость газа при постоянном объёме, $\Delta t$ -изменение температуры, $\Delta W$ — изменение внутренней энергии газа, $m$ — масса газа, $A = p\Delta V$ — совершённая при расширении газа работа ($\Delta V$ — изменение объёма, $p$ — давление).

Так как при повышении температуры газа на одинаковое число градусов изменение его внутренней энергии одинаково как при нагревании при постоянном объёме, так и при нагревании при постоянном давлении, то можно записать: $c_pm\Delta t = c_vm\Delta t+p\Delta V$. С помощью уравнение газового состояния (уравнения Клапейрона — Менделеева) совершённую работу можно выразить через молекулярную массу газа $\mu$ и газовую постоянную $R$: $p\Delta V = \frac{m}{\mu}R\Delta t$. Подставляя это соотношение в уравнение $\eqref{eq:ref1}$, получим: $c_p = c_v+\frac{R}{\mu}$, откуда:

$$\mu = \frac{R}{c_p-c_v} \approx 32,7$$ кг/кмоль.

Неизвестный газ — кислород с очень не большой примесью более тяжёлого газа.