знакопеременные ряды

15.3.1 Признак Лейбница

Числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}$ называется знакопеременным (знакочередующимся), если его слагаемые попеременно меняют знак, т. е. если $a_{n} \cdot a_{n+1}<0$ $(n=1,2,\dots)$ .
Знакопеременный ряд можно записать в виде $u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+\dots=\sum \limits _{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_{n},$ где $u_{n}\geqslant 0$ .

Если модули слагаемых знакочередующегося ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_{n} (15.14)$ монотонно убывают к нулю, то этот ряд сходится.

Обозначим через $S_{n}$ частичную сумму ряда $(15.14)$ . Рассмотрим частичные суммы с четными номерами $S_{2m}=(u_{1}-u_{2})+(u_{3}-u_{4})+\dots+(u_{2m-1}-u_{2m}).$ Так как $u_{n}$ убывают по условию, то в каждой скобке выражение неотрицательно. Поэтому $S_{2(m+1)}=S_{2m+2}=S_{2m}+(u_{2m+1}-u_{2m+2})\geqslant S_{2m}.$ Это означает, что последовательность $\left\{ {S_{2m}} \right\}_{m=1}^\infty$ возрастает. С другой стороны, из представления $S_{2m}=u_{1}-(u_{2}-u_{3})-(u_{4}-u_{5})-\dots-(u_{2m-2}-u_{2m-1})-u_{2m},$ в силу монотонности $u_{k}$ , следует, что $S_{2m}\leqslant u_{1}$ . Таким образом, последовательность $\left\{ {S_{2m}} \right\}_{m=1}^\infty$ ограничена сверху и возрастает и, следовательно, имеет предел. Обозначим $S= \displaystyle{\lim_{m \to \infty}} S_{2m}$ . Для доказательства сходимости ряда $(15.14)$ нужно еще показать, что $S_{2m+1} \rightarrow S (m\rightarrow \infty)$ . Но это сразу следует из равенства $S_{2m+1}= S_{2m}+ u_{2m+1}$ и условия теоремы $u_{2m+1}\rightarrow 0 (m\rightarrow\infty)$ . Окончательно, последовательность частичных сумм ряда $(15.14)$ с четными и с нечетными номерами сходятся к одному и тому же пределу $S$ . Поэтому $S= \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} S_{n}$ .
Знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия теоремы Лейбница, называется рядом лейбницевского типа. Теорема Лейбница утверждает, что ряд лейбницевского типа сходится.

Рассмотрим полугармонический ряд $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ . Здесь $u_{n}=\frac{1}{n}$ и данный ряд является рядом лейбницевского типа. По теореме Лейбница, он сходится. Ранее мы показали, что ряд, составленный из модулей слагаемых, – гармонический – расходится. Таким образом, сходимость исходного ряда обусловлена не малостью его слагаемых, а взаимной интерференцией слагаемых.

Приведем пример, показывающий, что в теореме Лейбница нельзя отбросить условие монотонности.
Ряд $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$ является рядом лейбницевского типа и, следовательно, сходится. Гармонический ряд $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n}$ расходится. Рассмотрим знакопеременный ряд $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty}\left[ \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} +\frac{1}{n}\right].$ Его слагаемые стремятся к нулю, но их модули не монотонны. Легко видеть, что он расходится. Действительно, если бы он являлся сходящимся, то сходился бы и ряд $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n}$ , как разность двух сходящихся рядов $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty}\left[ \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} +\frac{1}{n}\right]$ и $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.$ Но гармонический ряд $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n}$ расходится.

Остаток после $n$ -го слагаемого ряда лейбницевского типа имеет такой же знак, как и его первое слагаемое, а по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого слагаемого.

Пусть $S_{n}$ – частичные суммы ряда лейбницевского типа $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} (-1)^{n-1}u_{n} (15.15)$ $S= \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} (-1)^{n-1}u_{n}$ и $r_{n}=\displaystyle{\sum_{k=n+1}^\infty} (-1)^{k-1}u_{k}$ Тогда $r_{n}=S-S_{n}$ , и мы хотим оценить $r_{n}.$
При доказательстве теоремы Лейбница мы получили, что последовательность частичных сумм ряда $(15.15)$ с четными номерами $S_{2m}$ возрастает, и поэтому $S_{2m}\leqslant S$ . С другой стороны, $S_{2m+1}=u_{1}-(u_{2}-u_{3})-(u_{4}-u_{5})-\dots-(u_{2m}-u_{2m+1}),$ откуда видно, что $S_{2m+1}\geqslant S_{2m+3},$ т.е. последовательность частичных сумм ряда $(15.15)$ с нечетными номерами убывает и поэтому $S_{2m+1}\geqslant S$ .
Таким образом, $S_{2m}\leqslant S \leqslant S_{2m+1},$ откуда $0\leqslant S-S_{2m}\leqslant S_{2m+1}-S_{2m}=u_{2m+1},$ т.е. остаток четного порядка $r_{2m}=S-S_{2m}$ удовлетворяет неравенству $0\leqslant r_{2m} \leqslant u_{2m+1},$ что и доказывает теорему для остатков четного порядка.
Аналогично, из неравенства $S_{2m+2}\leq S \leqslant S_{2m+1}$ следует $0\geqslant S — S_{2m+1}\geqslant S_{2m+2}-S_{2m+1}=-u_{2m+2},$ т. е. $-u_{2m+2}\leqslant r_{2m+1}\leqslant 0,$ чем доказано утверждение теоремы для остатков нечетного порядка.
Итак, мы показали, что $\text{sign }$ $r_{n} = (-1)^{n}$ и $\mid r_{n}\mid \leqslant u_{n+1}$ для любого $n = 1,2,\dots$

Примеры решения задач

Определить, сходятся ли ряды:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln^2n}{n}$

Решение

Найдём предел $u_{n}=\frac{\ln^2n}{n}$ при $n\rightarrow\infty$ , воспользовавшись правилом Лопиталя: $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\ln^2n}{n}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{2\ln n}{n}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n}=0$ , то есть модули слагаемых стремятся к нулю. Для проверки монотонности воспользуемся теоремой о достаточном условии строгой монотонности:
$\left(\frac{\ln^2x}{x}\right)^\prime=\frac{\frac{2\ln x}{x}x-\ln^2 x}{x^2}=\frac{\ln x \left(2-\ln x \right)}{x^2}$ Откуда видно, что при $x\rightarrow\infty$ , $\left(\frac{\ln^2x}{x}\right)^\prime<0$ , откуда следует, что модули слагаемых монотонно убывают. То есть, данный ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, следовательно, он сходится.
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{{\sqrt[n]{n}}}$

Решение

Найдём предел $u_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{{\sqrt[n]{n}}}$ при $n\rightarrow\infty$ : $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+1}}{{\sqrt[n]{n}}}=\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}e^{-\frac{\ln n}{n}}.$ Воспользуемся правилом Лопиталя: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}e^{-\frac{\ln n}{n}}=\lim_{n \to \infty}e^{-\frac{1}{n}}=e^0=1$ . Покажем, что данный ряд не удовлетворяет не только условиям теоремы Лейбница, но и необходимое условие сходимости числового ряда: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+1}}{{\sqrt[n]{n}}}=\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1}$ Но предела $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1}$ не существует (можно показать по Гейне, взяв ${x_{k}}^{\prime}=2n+1$ и ${x_{k}}^{\prime \prime}=2n$ ). То есть, данный ряд расходится.
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-\text{arctg } n}$

Решение

Найдём предел $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n-\text{arctg } n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n-\frac{\pi}{2}}=0.$ То есть модули слагаемых стремятся к нулю. Проверяем монотонность: $\displaystyle \left(\frac{1}{2x-\text{arctg } x}\right)^\prime=\frac{-2+\frac{1}{1+x^2}}{\left(2x-\text{arctg } x\right)^2},$ откуда видно, что при $x\rightarrow\infty$ $\displaystyle \left(\frac{1}{2x-\text{arctg } x}\right)^\prime < 0$ , что по теореме о достаточном условии строгой монотонности говорит о том, что $\displaystyle \left\{\frac{1}{2n-\text{arctg } n}\right\}_{n=1}^\infty$ монотонно убывает. То есть, по теореме Лейбница, ряд сходится.
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin{\left(\pi\sqrt{n^2+k^2}\right)},$ где $k \in \mathbb{N}$

Решение

Воспользовавшись нечётностью и периодичностью синуса, получим, что $\sin\alpha=-\sin(-\alpha)=-\sin\left(2\pi n-\alpha\right)=-\sin\left(\pi n+(\pi n -\alpha\right))=$ $=-\sin(\pi n)\cos(\pi n-\alpha)-\cos(\pi n)\sin(\pi n-\alpha)=$ $=-\cos(\pi n)\sin(\pi n-\alpha)=(-1)^{n+1}\sin(\pi n-\alpha)$ . То есть, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin{\pi\sqrt{n^2+k^2}}=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\sin(\pi n-\pi\sqrt{n^2+k^2}).$ Предел общего члена ряда: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1}\sin(\pi n-\pi\sqrt{n^2+k^2})=\lim_{n \to \infty}\sin\left(\frac{n^2-(n^2+k^2)}{n+\sqrt{n^2+k^2}}\right)=$ $\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sin\left(\frac{\pi k^2}{n+\sqrt{n^2+k^2}}\right)=0.$ Монотонность. $\left(\frac{\pi k^2}{x+\sqrt{x^2+k^2}}\right)^\prime=\frac{-\pi k^2}{x+\sqrt{x^2+k^2}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+k^2}}\right)=$ $=\frac{-\pi k^2}{x+\sqrt{x^2+k^2}}\left(\frac{x+\sqrt{x^2+k^2}}{\sqrt{x^2+k^2}}\right)=\frac{-\pi k^2}{x\sqrt{x^2+k^2}+x^2+k^2}$ , то есть при $n \to \infty$ $\left(\frac{\pi k^2}{x+\sqrt{x^2+k^2}}\right)^\prime<0$ , а значит, по теореме о достаточном условии строгой монотонности $\left\{\frac{\pi k^2}{n+\sqrt{n^2+k^2}}\right\}_{n=1}^\infty$ монотонно убывает при достаточно больших $n.$ При $y$ в окрестности нуля, по таблице эквивалентных, $\sin(y)\sim y$ , а $y=\frac{\pi k^2}{x+\sqrt{x^2+k^2}}$ монотонно убывает к $0$ , как было показано. Значит, общий член ряда также монотонно убывает к нулю, следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится.

При первом взгляде могло показаться, что для этого ряда не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда. Однако, это не так: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sin{\left(\pi\sqrt{n^2+k^2}\right)}=\lim_{n \to \infty}\sin{\left(\pi\sqrt{n^2\left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)}\right)}=$ $\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sin{\pi n\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}}=\lim_{n \to \infty}\sin{\pi n}=0$

Признак Лейбница

Тест для проверки уровня усвоения материала по теме «признак Лейбница».

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2. Одесса, «Астропринт», 2010, стр 16-19
Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, стр. 259-260

Смотрите также

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим числовой ряд с бесконечным множеством положительных и бесконечным множеством отрицательных членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом.

Запишем произвольный знакопеременный ряд
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(1)$ ,
где числа $a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$ являются как положительными, так и отрицательными, причем располагаются они в ряде произвольно. Так же рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ $(2)$ .
Для знакопеременных рядов справедлива следующая Теорема:

Теорема 1

Если ряд $(2)$ сходится, то сходится и ряд $(1)$ .

Доказательство

Предположим, что ряд $(2)$ сходится. Обозначим через $S_{n}$ частичную сумму ряда $(1)$ , а через $\sigma_{n}$ частичную сумму ряда $(2)$ . Тогда: $S_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$ ;

$\sigma_{n} = |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|$ . Так как ряд $(2)$ сходится, то последовательность его частичных сумм ${\sigma_{n}}$ имеет предел $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sigma_{n}=\sigma$ , при этом для любого $n$ справедливо неравенство

$\sigma_{n}\leq\sigma$ $(3)$ ,
Поскольку члены ряда $(2)$ неотрицательны.
Обозначим через $S{}’_{n}$ сумму положительных членов, а через $S{}»_{n}$ сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме $S_{n}$ .
Тогда
$S_{n}=S{}’_{n}-S{}»_{n}$ $(4)$ ,
$\sigma_{n}=S{}’_{n}+S{}»_{n}$ $(5)$ .
Видно, что последовательности ${S{}’_{n}}$ и ${S{}»_{n}}$ не убывают, а из равенства $(5)$ и неравенства $(3)$ следует, что они являются ограниченными: $S{}’_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ и $S{}»_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ . Следовательно, существуют $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}=S{}’$ и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}_{n}»=S{}»$ . Но в таком случае, в силу равенства $(4)$ , последовательность частичных сумм ряда $(1)$ имеет предел
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }(S{}’_{n}-S{}»_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}»_{n}=S{}’-S{}»$ .

Это означает, что ряд $(1)$ сходится. $\blacksquare$

Пример 1

Ряд $1-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+…$ согласно доказанной Теореме 1 сходится, т. к. сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+…$
Ниже представлен график поведения первых двадцати, составленных из абсолютных величин, членов ряда

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходим, т. к. существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}-1^{n+1}\frac{1}{n}$ согласно признаку Лейбница сходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ , составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

Ряд с действительными или комплексными членами $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется абсолютно сходящимся, если сходиться ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ .

Ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется условно сходящимся, если этот ряд сходиться, а ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ расходиться.

Спойлер

Пример 2

Ряд $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ условно сходящийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ расходится.
Можно заметить, что свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов имеют некоторые отличия. Так, например, в условно сходящихся рядах, сумма ряда не равна сумме положительных и отрицательных членов ряда, но для абсолютно сходящихся это свойство справедливо, что можно было увидеть при доказательстве Теоремы 1.

[свернуть]

Литература

Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., семестр 2 из 2
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 247-259
Шипачев В.С., Высшая математика, учебник для спец. вузов /Под ред. акад. А.Н. Тихонова.- М.: Высш.шк., 1985.- 471 с., стр. 390-391 ил.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 394-406
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267

Абсолютная и условная сходимость рядов

Предлагаем Вам пройти тест на тему «Абсолютная и условная сходимость рядов».

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Признак сходимости для знакопеременных рядов: Даны ряды

$(1)$ $a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ и
$(2)$ $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ . Имеет место следующий признак
- Если ряд
- $(2)$
- сходится
- то сходится и ряд
- $(1)$
Правильно 1 / 1Баллы

Неправильно / 1 Баллы
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Исследовать на сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\sin ^{2}n}{n}$
- Ряд (сходится)
Правильно

Применим признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем $\lim_{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\lim_{n\rightarrow \infty}\left |(-1)^{n}\frac{\sin ^{2}n}{n} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sin ^{2}n}{n}=0$
Поскольку $\sin ^{2}\leq 1$ . Следовательно данный ряд сходится.

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Рядом называется выражение вида:
- $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$
- $-a_{1}+a_{2}-a_{3}+...+a_{n}=S_{n}$
- $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=0$
- $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=lim_{n\rightarrow\infty }S_{n}$
Правильно 1 / 1Баллы

Неправильно / 1 Баллы
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
К абсолютно сходящимся рядам относятся
- (сходящиеся) ряды, для которых ряды, составленные из их членов (сходятся).
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
К условно сходящимся рядам относятся…
- сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
- сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, сходятся.
- расходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
- расходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, сходятся.
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Знакопеременным числовым рядом

называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.

Знакочередующийся ряд

Числовой ряд вида

$u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…,$ где

$u_n —$ это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Теорема Лейбница(Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

$u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…(*)$
Выполняются два условия:

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине $u_{1} > u_2 > …> u_n > …$
Члены ряда стремятся к нулю $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

то ряд $(*)$ сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: $S_{2n}=(u_{1}-u_2)+(u_3-u_4)+…+(u_{2n-1}-u_{2n})$ .

По условию $u_{1} > u_2 > …> u_{2n-1} > u_{2n},$ следовательно все разности в скобках положительны, значит, $S_{2n}$ увеличивается с возрастанием $n$ и $S_{2n}>0$ при любом $n.$

С другой стороны, если переписать так $S_{2n}=u_{1}-[(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+…+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}].$ Выражение в квадратных скобках положительно и $S_{2n}>0,$ поэтому $S_{2n}<u_1$ для любого $n.$ Таким образом, последовательность частичных сумм $S_{2n}$ ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный $\lim_{n \to \infty}S_{2n}=S.$ При этом $0<S_{2n}\leq u_1.$

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем $S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}.$ Перейдём в последнем равенстве к пределу при $n \to \infty:\lim_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n \to \infty}S_{2n}+\lim_{n \to \infty}u_{2n+1}=S+0=S.$ Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел $S,$ поэтому $\lim_{n \to \infty}S_{n}=S,$ следовательно данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

В данном тесте вы можете проверить, как вы усвоили материал.

Таблица лучших: Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

максимум из 9 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Г.М.Фихтенгольтс Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том, стр.312
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.42
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа стр.342

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Признак Лейбница

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Смотрите также

Теорема 1

Доказательство

Пример 1

Пример 2

Абсолютная и условная сходимость рядов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Знакопеременные ряды. Признак Лейбница