Интегралы Дарбу

Пусть $f$ — ограничена на отрезке $[a,b]$ функция. Выберем произвольное разбиение этого отрезка $\prod$ : $a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$ и обозначим $\displaystyle M_{i}=\underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x \right ), m_{i}=\underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f \left ( x \right ) \left ( i= \overline{0,n-1}\right ).$

Сумма $\bar S_{\prod} =\sum_{i=0}^{n-1} M_{i} \Delta x_{i}$ называется для функции $f$ , соответствующей разбиению $\prod$ , а сумма
$\underline S_{\prod} = \sum_{i=0} ^ {n-1} m_{i} \Delta x_{i}$ называется , соответствующего разбиению $\prod$ .

Очевидно, что $\underline S_{\prod} \leqslant \overline {S_{\prod}}$ , и любая интегральная сумма $\sigma$ , соответствующая разбиению $\prod$ , удовлетворяет неравенству $\begin{equation}\label{eq:exp1} \underline S_{\prod} \leqslant \sigma \leqslant \overline {S_{\prod}}. \end{equation}$

Действительно, при любом выборе точек $\xi_{i} \in [x_{i},x_{i+1}]$ из определения $m_{i}$ и $M_{i}$ получаем $m_{i} \leqslant f \left (\xi _{i}\right ) \leqslant M_{i}$ . Умножив это неравенство на $\Delta x_{i}$ и сложив по $i$ , получаем $\eqref{eq:exp1}$ .

Если функция $f$ непрерывна на $[a,b]$ , то на каждом из частичных отрезков $[x_{i},x_{i+1}]$ она достигает своего наибольшего и наименьшего значений, т.е. точки $\xi_{i}$ и $\eta_{i}$ можно выбрать так, чтобы были выполнены равенства $f \left (\xi_{i}\right ) = m_{i}$ и $f \left (\eta_{i}\right )= M_{i}$ . Поэтом в этом случае суммы Дарбу сами являются интегральными суммами. Однако справедливо следующее

Для произвольной ограниченной функции $f$ и заданного разбиения $\prod$ верхняя и нижняя суммы Дарбу сами являются соответственно верхней и нижними гранями множества всех интегральных сумм, соответствующих заданному разбиению $\prod$ .

Действительно,зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь определением верхней грани, для каждого $i=\overline{0,n-1}$ найдем такие $\eta_{i} \in [x_{i},x_{i+1}]$ , что $f\left (\eta_{i}\right ) > M_{i} — \varepsilon$ . Тогда получим $\sigma =\sum_{i=0}^{n-1} f\left ( \eta_{i}\right ) \Delta x_{i} > \sum_{i=0}^{n-1} M_{i} \Delta x_{i}-\varepsilon \left (a-b\right ) = \bar S_{\prod}-\varepsilon \left (a-b\right ).$
Отсюда следует, что $\bar S_{\prod}= \sup\left (\sigma\right )$ , где верхняя грань берется по множеству всевозможных интегральных сумм, соответствующих заданному разбиению $\prod.$
Доказательство для нижней суммы Дарбу аналогично.

Свойства сумм Дарбу

1. Если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то от этого верхняя сумма Дарбу не увеличится, а нижняя сумма Дарбу не уменьшится

Пусть имеется изначально разбиение $\prod$ . Достаточно показать рассмотреть случай, когда к имеющимся точкам добавляется одно точка $x{}’_{i} \in [x_{i},x_{i+1}]$ , в результате чего получаем новое разбиение $\prod{}’$ . Тогда суммы $\bar S_{\prod}$ и $\bar S_{\prod {}’}$ содержат одни и те же слагаемые, за исключением слагаемых, отвечающие отрезку $[x_{i},x_{i+1}]$ . В сумме $\bar S_{\prod}$ этому отрезку отвечает слагаемое $M_{i}\left (x_{i+1} -x_{i}\right )$ , а в сумме $\bar S_{\prod {}’}$ ему соответствуют два слагаемых $M{_{i}}’\left (x{}’-x_{i}\right )+M_{i}{}'{}’ \left (x_{i+1}-x_{i}\right )$ , где $M{_{i}}’=\underset{\displaystyle x_{i} \leqslant x \leqslant x{}’}{\sup} f\left (x\right )$ , $M_{i}{}'{}’=\underset{\displaystyle x{}’ \leqslant x \leqslant x_{i+1} }{\sup} f\left (x\right )$ . Ясно, что $M{_{i}}’ \leqslant M_{i}$ . и $M_{i}{}'{}’ \leqslant M_{i}$ . Поэтому $M{_{i}}’\left (x{}’ -x_{i}\right ) + M_{i}{}'{}’ \left (x_{i+1} -x{}’\right ) \leqslant M_{i}\left (x_{i+1} -x_{i}\right )$ , так что и $\bar{S_{\prod {}’}} \leqslant \bar{S_{\prod}}$ .
Для нижних сумм доказательство аналогичное.

2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям

Пусть $\prod_{1}$ , $\prod_{2}$ — произвольные разбиения отрезка $[a,b].$ Докажем, что $\underline S_{\prod_{1}} \leqslant \bar S_{\prod_{2}}$ . Объединяя точки разбиений $\prod_{1}$ и $\prod_{2}$ , получим новое разбиение $\prod$ , причем, поскольку $\prod_{1}$ может быть получено из $\prod_{1}$ путём добавления к $\prod_{1}$ новых точек деления, то, в силу предыдущего свойства, имеем $\underline S_{\prod_{1}} \leqslant \underline S_{\prod}$ . С другой стороны, разбиение $\prod$ может быть получено из $\prod_{2}$ путем добавления к $\prod_{2}$ новых точек деления, так, что, в силу предыдущего свойства, $\bar S_{\prod} \leqslant \bar S_{\prod_{2}}$ . Объединяя эти два неравенства и учитывая, что $\underline S_{\prod} \leqslant \bar S_{\prod}$ , получаем $\underline S_{\prod_{1}} \leqslant \bar S_{\prod_{2}}$ .

Интегралы Дарбу.

Пусть функция $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$ , т.е. $\left | f\left (x\right ) \right |\leqslant M$ , $a\leqslant x\leqslant b$ . Тогда для любого разбиения $\prod$ справедливы неравенства $\left |\bar S_{\prod} \right | \leqslant M\left (b-a\right )$ и $\left |\underline S_{\prod} \right | \leqslant M\left (b-a\right )$ . Это означает, что множества всевозможных верхних и нижних сумм Дарбу являются ограниченными.

Верхняя грань множества всевозможных нижних сумм Дарбу называется $f$ и обозначается $\underline I = \sup_{\prod} {\underline S_{\prod}}$ . Нижняя грань множества всевозможных верхних сумм Дарбу называется и обозначается $\bar I = \inf_{\prod} {\bar S_{\prod}}$ .

Связь между верхним и нижним интегралами устанавливает

Для любой ограниченной функции $f$ справедливо неравенство $\underline I \leqslant \bar I.$

Как было показано выше,каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, т.е. для любых двух разбиений $\prod$ и $\prod{}’$ справедливо неравенство $\underline I \leqslant \bar I.$ Переходя к верхней грани по всевозможным разбиениям $\prod$ , получаем $\underline I \leqslant \bar S_{\prod{}’}$ . Поскольку в полученном неравенстве разбиение $\prod{}’$ произвольное, то переходя к нижней грани по всевозможным разбиениям, получим $\underline I \leqslant \bar I$ .

Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке $[0,1]$ . Для нее, очевидно, при любом разбиении $\prod$ будет $\underline S_{\prod} = 0$ , так что и $\underline I = 0$ . С другой стороны, $\bar S_{\prod} = 1$ , так что $\bar I = 1$ .

Пусть функция $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$ . Для того чтобы $f$ была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство $\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0}\left (\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod}\right ) = 0$
Это равенство означает, что для любого положительного $\varepsilon$ найдется такое положительное
$\delta$ , что для каждого разбиения $\prod$ , диаметр которого $d\left (\prod\right )<\delta$ , справедливо неравенство $\bar S_{\prod} - \underline S_{\prod} < \varepsilon.$

Пусть функция $f$ интегрируема, т.е. существует конечный $I\equiv\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0}\sigma$
Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$ , что для любого разбиения $\prod$ с $d\left (\prod\right ) < \delta$ и при любом выборе промежуточных точек $\xi _{i}$ выполнено неравенство $\left | \sigma -I \right | < \varepsilon$ . Это неравенство можно переписать так: $I-\varepsilon <\sigma < I + \varepsilon$ . Зафиксируем произвольное разбиение $\prod$ с $d\left (\prod\right ) < \delta$ . Поскольку $\bar S_{\prod}$ - верхняя грань множества всех интегральных сумм $\sigma$ , соответствующих разбиению $\prod$ , и $\sigma < I +\varepsilon$ , то $\bar S_{\prod} \leqslant I +\varepsilon$ . Аналогично получаем $\underline S_{\prod} \geq I - \varepsilon$ . Таким образом, $I - \varepsilon \leqslant \underline S_{\prod} \leqslant \bar S_{\prod} \leqslant I + \varepsilon$ . Отсюда следует, что $\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod} \leqslant 2\varepsilon$ , если только $d\left (\prod\right ) < \delta.$

Заметим, что для любого разбиения $\prod$ справедливо неравенство $\underline S_{\prod}\leqslant \underline I\leqslant \bar I \leqslant \bar S_{\prod}$ . Поскольку, по условию, $\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod} \rightarrow 0$ при $d\left (\prod\right ) \rightarrow 0$ , то $\bar I = \underline I$ . Обозначим их общее значение через $I$ . Тогда получим, что для любого разбиения $\prod$ имеет место неравенство $\underline S_{\prod} \leqslant I \leqslant \bar S_{\prod}$ . Но и каждая интегральная сумма $\sigma$ , отвечающая разбиению $\prod$ , также удовлетворяет неравенству $\underline S_{\prod} \leqslant \sigma \leqslant \bar S_{\prod}$ . Отсюда следует, что $\left | \sigma -I\right |\leqslant \bar S_{\prod} -\underline S_{\prod}$ . Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при $d\left (\prod\right ) \rightarrow 0$ , то получаем $\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0} \sigma = I$

Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Для ограниченной на отрезке $[\alpha, \beta ]$ функции $\varphi$ число $\omega = \sup \left | \varphi \left (x{}’\right ) — \varphi \left (x{}'{}’\right ) \right |,$ где $x{}’, x{}'{}’ \in [\alpha,\beta ]$ , называется $\varphi$ на $[\alpha, \beta ]$ .

Обозначим $M_{i}=\underset{\displaystyle \alpha \leqslant x\leqslant \beta }{\sup} \varphi \left (x\right )$ и $m_{i} =\underset{\displaystyle \alpha \leqslant x\leqslant \beta }{\inf} \varphi \left (x\right )$ . Тогда, как легко видеть, $\omega = M_{i} -m_{i}$
Пусть теперь ограниченная функция $f$ задана на отрезке $[a,b]$ . Тогда для произвольного разбиения $\prod$ колебание $f$ на $[x_{i},x_{i+1}]$ равно $\omega = M_{i}- m_{i}$ . Поэтому $\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod} = \sum_{i=0}^{n-1}\left (M_{i} -m_{i}\right )\Delta x = \sum_{i=0}^{n-1}\omega _{i}\Delta x.$

Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.

Для того чтобы ограниченная функция $f$ была интегрируемой по Риману на отрезке $[a,b]$ , необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство $\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n-1} \omega_{i}\Delta x_{i} = 0,$ где $\omega _{i}$ — колебание функции $f$ на отрезке $[x_{i}, x_{i=1}]$ .

Пример решения задачи

Дан интеграл $I=\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+x^{5}}dx$ . Выполнить равномерное разбиение на отрезке $\left [ 0, 1 \right ]$ на 6 частей. Построить верхнюю и нижнюю суммы Дарбу.

Решение

График функции $f\left (x\right )=\sqrt{1+x^{5}}$ .

Докажем, что функция монотонна.
Для этого возьмем производную данной функции
$\displaystyle f{}’\left (x\right )=\frac{\displaystyle 5x^{4}}{\displaystyle 2\sqrt{1+x^{5}}}$ . Так как мы рассматриваем промежуток $\left ( 0, 1 \right )$ , то на этом участке $x^{5} > 0$ , $x^{4} > 0$ (так как степень четная ). Получили, что $f{}’\left (x\right ) > 0$ . Следовательно, $f\left (x \right )$ монотонно возрастает, тогда $\underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$
расположен на правом конце, а $\underset{\displaystyle x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ - на левом конце.
Построим верхнюю сумму Дарбу:
Найдем значения с точностью 0,001
$\bar S_{\prod} =\sum_{i=0}^{n-1} M_{i} \Delta x_{i}$
$M_{1}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1;$
$M_{2}= \displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,002;$
$M_{3}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,015;$
$M_{4}= \displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,064;$
$M_{5}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,184;$
$M_{6}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (1\right )$ $\approx 1,414;$
$\bar S_{\prod} =\left (1+1,002+1,015+1,064+1,184+1,414\right )\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = 1.113;$

Построим нижнюю сумму Дарбу:
Найдем значения с точностью 0,001
$\underline S_{\prod} =\sum_{i=0}^{n-1} m_{i} \Delta x_{i}$
$m_{1}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (0\right ) = 1;$
$m_{2}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1;$
$m_{3}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,002;$
$m_{4}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,015;$
$m_{5}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,064;$
$m_{6}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,184;$
$\underline S_{\prod} =\left (1+1+1,002+1,015+1,064+1,184\right )\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = 1.044;$

$f\left (0\right )=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}=1;$
$f \left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+ \left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.0001286008} \approx 1;$
$f \left (\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+ \left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.00411} \approx 1.002;$
$f \left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+\left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.03125} \approx 1.015;$
$f \left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+\left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.1316872428} \approx 1.064;$
$f\left (\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+\left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.401877572} \approx 1.184;$
$f \left (1\right )=\sqrt{1+1^{5}}=\sqrt{2} \approx 1.414;$

Основным источником является учебник В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу». — Одесса: Астропринт, 2009, ч.1, раздел 7.2 «Суммы Дарбу и интегралы Дарбу».(стр. 181 — 186)

Информацию по теме «Суммы Дарбу и интегралы Дарбу» вы можете также найти в следующих учебниках:

Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: Интегралы Дарбу

7.2 Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Свойства сумм Дарбу

Интегралы Дарбу.

Пример решения задачи

Информацию по теме «Суммы Дарбу и интегралы Дарбу» вы можете также найти в следующих учебниках:

Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Элементы сортировки

7.

Подсказка

8.

9.

10.

Таблица лучших: Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Средний результат
Ваш результат