Пусть f — ограничена на отрезке [a,b] функция. Выберем произвольное разбиение этого отрезка ∏ : a=x0<x1<⋯<xn=b и обозначим Mi=supxi⩽x⩽xi+1f(x),mi=infxi⩽x⩽xi+1f(x)(i=¯0,n−1).
Определение. Сумма ˉS∏=n−1∑i=0MiΔxi называется верхней суммой Дарбу для функции f, соответствующей разбиению ∏, а сумма
S_∏=n−1∑i=0miΔxi называется нижней суммой Дарбу, соответствующего разбиению ∏.
Очевидно, что S_∏⩽¯S∏, и любая интегральная сумма σ, соответствующая разбиению ∏, удовлетворяет неравенству S_∏⩽σ⩽¯S∏.
Действительно, при любом выборе точек ξi∈[xi,xi+1] из определения mi и Mi получаем mi⩽f(ξi)⩽Mi. Умножив это неравенство на Δxi и сложив по i, получаем (1).
Если функция f непрерывна на [a,b], то на каждом из частичных отрезков [xi,xi+1] она достигает своего наибольшего и наименьшего значений, т.е. точки ξi и ηi можно выбрать так, чтобы были выполнены равенства f(ξi)=mi и f(ηi)=Mi. Поэтом в этом случае суммы Дарбу сами являются интегральными суммами. Однако справедливо следующее
Утверждение. Для произвольной ограниченной функции f и заданного разбиения ∏ верхняя и нижняя суммы Дарбу сами являются соответственно верхней и нижними гранями множества всех интегральных сумм, соответствующих заданному разбиению ∏.
Действительно,зададим ε>0 и, пользуясь определением верхней грани, для каждого i=¯0,n−1 найдем такие ηi∈[xi,xi+1], что f(ηi)>Mi—ε. Тогда получим σ=n−1∑i=0f(ηi)Δxi>n−1∑i=0MiΔxi−ε(a−b)=ˉS∏−ε(a−b).
Отсюда следует, что ˉS∏=sup(σ), где верхняя грань берется по множеству всевозможных интегральных сумм, соответствующих заданному разбиению ∏.
Доказательство для нижней суммы Дарбу аналогично.
Свойства сумм Дарбу
1. Если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то от этого верхняя сумма Дарбу не увеличится, а нижняя сумма Дарбу не уменьшится
Пусть имеется изначально разбиение ∏. Достаточно показать рассмотреть случай, когда к имеющимся точкам добавляется одно точка x′i∈[xi,xi+1], в результате чего получаем новое разбиение ∏′. Тогда суммы ˉS∏ и ˉS∏′ содержат одни и те же слагаемые, за исключением слагаемых, отвечающие отрезку [xi,xi+1]. В сумме ˉS∏ этому отрезку отвечает слагаемое Mi(xi+1−xi), а в сумме ˉS∏′ ему соответствуют два слагаемых Mi′(x′−xi)+Mi′′(xi+1−xi), где Mi′=supxi⩽x⩽x′f(x), Mi′′=supx′⩽x⩽xi+1f(x). Ясно, что Mi′⩽Mi. и Mi′′⩽Mi. Поэтому Mi′(x′−xi)+Mi′′(xi+1−x′)⩽Mi(xi+1−xi), так что и ¯S∏′⩽¯S∏.
Для нижних сумм доказательство аналогичное.
2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям
Пусть ∏1, ∏2 — произвольные разбиения отрезка [a,b]. Докажем, что S_∏1⩽ˉS∏2. Объединяя точки разбиений ∏1 и ∏2, получим новое разбиение ∏, причем, поскольку ∏1 может быть получено из ∏1 путём добавления к ∏1 новых точек деления, то, в силу предыдущего свойства, имеем S_∏1⩽S_∏. С другой стороны, разбиение ∏ может быть получено из ∏2 путем добавления к ∏2 новых точек деления, так, что, в силу предыдущего свойства, ˉS∏⩽ˉS∏2. Объединяя эти два неравенства и учитывая, что S_∏⩽ˉS∏, получаем S_∏1⩽ˉS∏2.
Интегралы Дарбу.
Пусть функция f ограничена на отрезке [a,b], т.е. |f(x)|⩽M, a⩽x⩽b. Тогда для любого разбиения ∏ справедливы неравенства |ˉS∏|⩽M(b−a) и |S_∏|⩽M(b−a). Это означает, что множества всевозможных верхних и нижних сумм Дарбу являются ограниченными.
Определение. Верхняя грань множества всевозможных нижних сумм Дарбу называется нижним интегралом функции f и обозначается I_=sup∏S_∏. Нижняя грань множества всевозможных верхних сумм Дарбу называется верхним интегралом и обозначается ˉI=inf∏ˉS∏.
Связь между верхним и нижним интегралами устанавливает
Утверждение. Для любой ограниченной функции f справедливо неравенство I_⩽ˉI.
Как было показано выше,каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, т.е. для любых двух разбиений ∏ и ∏′ справедливо неравенство I_⩽ˉI. Переходя к верхней грани по всевозможным разбиениям ∏, получаем I_⩽ˉS∏′. Поскольку в полученном неравенстве разбиение ∏′ произвольное, то переходя к нижней грани по всевозможным разбиениям, получим I_⩽ˉI.
Пример. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0,1]. Для нее, очевидно, при любом разбиении ∏ будет S_∏=0, так что и I_=0. С другой стороны, ˉS∏=1, так что ˉI=1.
Теорема (критерий интегрируемости по Риману). Пусть функция f ограничена на отрезке [a,b]. Для того чтобы f была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство limd(∏)→0(ˉS∏−S_∏)=0
Это равенство означает, что для любого положительного ε найдется такое положительное
δ, что для каждого разбиения ∏, диаметр которого d(∏)<δ, справедливо неравенство ˉS∏−S_∏<ε.
Необходимость. Пусть функция f интегрируема, т.е. существует конечный I≡limd(∏)→0σ
Это означает, что для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для любого разбиения ∏ с d(∏)<δ и при любом выборе промежуточных точек ξi выполнено неравенство |σ−I|<ε. Это неравенство можно переписать так: I−ε<σ<I+ε.
Зафиксируем произвольное разбиение∏ с d(∏)<δ. Поскольку ˉS∏- верхняя грань множества всех интегральных сумм σ, соответствующих разбиению ∏, и σ<I+ε, то ˉS∏⩽I+ε.
Аналогично получаем S_∏≥I−ε. Таким образом, I−ε⩽S_∏⩽ˉS∏⩽I+ε. Отсюда следует, что ˉS∏−S_∏⩽2ε, если только d(∏)<δ.
Достаточность. Заметим, что для любого разбиения ∏ справедливо неравенство S_∏⩽I_⩽ˉI⩽ˉS∏. Поскольку, по условию,ˉS∏−S_∏→0 при d(∏)→0, то ˉI=I_. Обозначим их общее значение через I. Тогда получим, что для любого разбиения ∏ имеет место неравенство S_∏⩽I⩽ˉS∏. Но и каждая интегральная сумма σ, отвечающая разбиению ∏, также удовлетворяет неравенству S_∏⩽σ⩽ˉS∏. Отсюда следует, что |σ−I|⩽ˉS∏−S_∏. Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при d(∏)→0, то получаем limd(∏)→0σ=I
Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.
Определение. Для ограниченной на отрезке [α,β] функции φ число ω=sup|φ(x′)—φ(x′′)|, где x′,x′′∈[α,β], называется колебанием функции φ на [α,β].
Обозначим Mi=supα⩽x⩽βφ(x) и mi=infα⩽x⩽βφ(x). Тогда, как легко видеть, ω=Mi−mi
Пусть теперь ограниченная функция f задана на отрезке [a,b]. Тогда для произвольного разбиения ∏ колебание f на [xi,xi+1] равно ω=Mi−mi. Поэтому ˉS∏−S_∏=n−1∑i=0(Mi−mi)Δx=n−1∑i=0ωiΔx.
Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.
Теорема (критерий интегрируемости в терминах колебаний).
Для того чтобы ограниченная функция f была интегрируемой по Риману на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенствоlimd(∏)→0n−1∑i=0ωiΔxi=0, где ωi — колебание функции fна отрезке [xi,xi=1].
Пример решения задачи
Дан интеграл I=1∫0√1+x5dx. Выполнить равномерное разбиение на отрезке [0,1] на 6 частей. Построить верхнюю и нижнюю суммы Дарбу.
Решение
График функции f(x)=√1+x5.
Докажем, что функция монотонна.
Для этого возьмем производную данной функции
f′(x)=5x42√1+x5. Так как мы рассматриваем промежуток (0,1), то на этом участке x5>0, x4>0 (так как степень четная ). Получили, что f′(x)>0. Следовательно, f(x) монотонно возрастает, тогда supxi⩽x⩽xi+1f(x)
расположен на правом конце, а infxi⩽x⩽xi+1f(x)- на левом конце.
Построим верхнюю сумму Дарбу:
Найдем значения с точностью 0,001
ˉS∏=n−1∑i=0MiΔxi
M1=supxi⩽x⩽xi+1f(x)=supxi⩽x⩽xi+1f(16) ≈1;
M2=supxi⩽x⩽xi+1f(x)=supxi⩽x⩽xi+1f(26) ≈1,002;
M3=supxi⩽x⩽xi+1f(x)=supxi⩽x⩽xi+1f(36) ≈1,015;
M4=supxi⩽x⩽xi+1f(x)=supxi⩽x⩽xi+1f(46) ≈1,064;
M5=supxi⩽x⩽xi+1f(x)=supxi⩽x⩽xi+1f(56) ≈1,184;
M6=supxi⩽x⩽xi+1f(x)=supxi⩽x⩽xi+1f(1) ≈1,414;
ˉS∏=(1+1,002+1,015+1,064+1,184+1,414)⋅16=1.113;
Построим нижнюю сумму Дарбу:
Найдем значения с точностью 0,001
S_∏=n−1∑i=0miΔxi
m1=infxi⩽x⩽xi+1f(x)=infxi⩽x⩽xi+1f(0)=1;
m2=infxi⩽x⩽xi+1f(x)=infxi⩽x⩽xi+1f(16) ≈1;
m3=infxi⩽x⩽xi+1f(x)=infxi⩽x⩽xi+1f(26) ≈1,002;
m4=infxi⩽x⩽xi+1f(x)=infxi⩽x⩽xi+1f(36) ≈1,015;
m5=infxi⩽x⩽xi+1f(x)=infxi⩽x⩽xi+1f(46) ≈1,064;
m6=infxi⩽x⩽xi+1f(x)=infxi⩽x⩽xi+1f(56) ≈1,184;
S_∏=(1+1+1,002+1,015+1,064+1,184)⋅16=1.044;
f(0)=√1+0=√1=1;
f(16)=√1+(16)5=√1.0001286008≈1;
f(26)=√1+(16)5=√1.00411≈1.002;
f(36)=√1+(36)5=√1.03125≈1.015;
f(46)=√1+(46)5=√1.1316872428≈1.064;
f(56)=√1+(16)5=√1.401877572≈1.184;
f(1)=√1+15=√2≈1.414;
Информацию по теме «Суммы Дарбу и интегралы Дарбу» вы можете также найти в следующих учебниках:
Суммы Дарбу и интегралы Дарбу
Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.
Таблица лучших: Суммы Дарбу и интегралы Дарбу
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |