Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число M называется точной верхней гранью (границей), если:

1) для \forall x \in X: x \leq M;

2) для \forall {M}'<M: \exists {x}' \in X:{x}'>{M}'; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

M=\sup X (M — супремум X).

Число M называется точной нижней гранью (границей), если:

1) для \forall x \in X: x \geq M;

2) для \forall {M}'>M: \exists {x}' \in X:{x}'<{M}'; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

M=\inf X (M — инфимум X).

(если множество X неограничено сверху, то пишем \sup{X}=+\infty; если множество X неограничено снизу, то пишем \sup{X}=-\infty.)

Примечание: если M не является точной верхней гранью множества X  и \forall x \in X : x \leq M, тогда \exists {M}'<M : \forall {x}' \in X : {x}'>{M}';

если M не является точной нижней гранью множества X  и \forall x \in X : x \geq M, тогда \exists {M}'>M : \forall {x}' \in X : {x}'<{M}'.

Примеры:

1) X=[1;2) :

\sup X=2 \notin X;   \inf X=1.

2) X=\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};...\right\};

\sup X=\max X=\frac{1}{2} \in X;

\inf X=0 \notin X.

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет \sup и \inf, то он единственный.

\square Рассмотрим для \sup.

 Пусть множество X  имеет 2 точных верхних грани:  M_{1} и M_{2}.

41

Допустим M_{1}<M_{2}.

Так как M_{1}<M_{2} и M_{2}=\sup{X}, то  \exists {x}' \in X: {x}'>M_{1}, что противоречит тому факту, что M_{1}=\sup{X}.   \blacksquare

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

1) Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел r, удовлетворяющих равенству r^{2}<2.

Решим неравенство r^{2}.

x \in \left (-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right )

\sup r= \sqrt{2} Докажем это:

1) \forall x \in r: x \leq \sqrt{2}. Так и есть, \sqrt{2} является верхней границей множества r.

2) \forall {M}'< \sqrt{2} : \exists {x}' \in r:{x}'>{M}';

Действительно, всякие рациональные x< \sqrt{2} (и при этом x> -\sqrt{2}) будут элементами множества r, причём \forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} - x< \epsilon. То есть какое бы рациональное число из r мы не взяли, можно взять рациональное число из r так, что оно будет находиться ближе к \sqrt{2} на числовой прямой.

2) Пусть \left \{ -x\right \} — множество чисел, противоположных числам x \in \left \{x \right \}.

Доказать, что \inf \left \{-x \right \}= \sup\left \{x \right \}.

\square Пусть (-x) — элемент из множества \left \{-x \right \} противоположный элементу x из множества \left \{x \right \}.

Распишем точную нижнюю грань для множества \left \{-x \right \} по определению:

1) \forall (-x) \in \left \{-x \right \}: (-x) \geq M;  \Rightarrow   \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;

2) \forall {M}'>M: \exists (-{x}') \in \left \{-x \right \} : (-{x}')<{M}' \Rightarrow

  \Rightarrow \forall (-{M}')<-M: \exists {x}' \in \left \{ x \right \}: {x}' > -{M}'.

Получили:

1)  \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;

2)  \forall (-{M}')<-M: \exists {x}' \in \left \{ x \right \}: {x}' > -{M}'.

Тоесть: -M = \sup \left \{ x \right \}  \Rightarrow  M=- \sup \left \{ x \right \}.

Так как M= \inf \left \{-x \right \}, \inf \left \{-x \right \} = - \sup \left \{ x \right \}.  \blacksquare

Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

 Wikipedia

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *