Теорема.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет первообразную на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$
или короче $$\int udv=uv -\int vdu.$$
Доказательство.
Пусть $u(x)v^\prime(x)$ имеет первообразную, тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем
$$\left(u(x)v(x)\right)^\prime=u(x)v^\prime(x)+u^\prime(x)v(x).$$
Получаем, что $u^\prime(x)v(x)$ является разностью производных двух функций, то-есть двух функций имеющих первообразные, следовательно сама имеет первообразную и справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx.$$
Замечание.
Если одна из функции дифференцируемая, а другая имеет первообразную, то их произведение не обязано иметь первообразную. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций $u(x)v^\prime(x$ или $u^\prime(x)v(x)$.
Пример 1.

[latex]\int {\ln xdx} = [/latex] [latex] \left[ $$\begin{array}{l}u = \ln x;\\dv = dx;\\du =\frac{{dx}}{x};\\v = x.\end{array}$$ \right] = [/latex] [latex]x\ln x — \int{x \frac{{dx}}{x}} = [/latex] [latex] x\ln x — x + C[/latex]

Пример 2.

[latex]\int{x\cos xdx} = [/latex] [latex] \left[ $$\begin{array}{l}u = x;\\dv = \cos xdx;\\du = dx;\\v = \sin x.\end{array}$$ \right] = [/latex] [latex] x\sin x — \int {\sin xdx} = [/latex] [latex] \sin xdx + \cos x + C [/latex]

Пример 3.

В некоторых случаях для вычисление интеграла нужно сложить уравнение. Так, например

[latex] I = \int {e^{ax}\sin{bx}dx} = [/latex] [latex] \left[ $$\begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \sin{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v =- \frac{1}{b}\cos{bx}.\end{array}$$ \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\int{ e^{ax}\cos{bx}dx}= [/latex] [latex] \left[ $$\begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \cos{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v = \frac{1}{b}\sin{bx}.\end{array}$$ \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\left( {\frac{1}{b}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a}{b}\int {e^{ax}\sin{bx}dx} } \right) = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b^2}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a^2}{b^2}I [/latex]
Отсюда

[latex]I = [/latex] [latex] \int {e^{ax}\sin bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx — b\cos bx) + C [/latex]

По аналогии,

[latex]\int {e^{ax}\cos bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b\sin bx + a\cos bx) + C [/latex]

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 2. (стр. 31-32)
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1. (стр. 464-465)
• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  Часть 1.(стр. 55-56).
• Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу Часть 1. (стр. 159-160)
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (стр. 325)

Смотрите также

• Онлайн лекции Лавриченко С.А.
• Высшая математика – просто и доступно!

Метод интегрирования по частям

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Метод интегрирования по частям».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Правильно выполнить подстановку в интеграле $\int x \sin x dx$ чтоб его можно было проинтегрировать по частям:

   Элементы сортировки

   • $x$
   • $-\cos x$
   • $1$
   • $\sin x$

   • $u$

   • $v$

   • $du$

   • $dv$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Какое необходимое и достаточное условие накладывается на функции $f$ и $g$ чтоб для них была верна теорема?

   • непрерывность на отрезке.
   • дифференцируемость на интервале.
   • ограниченность на компакте.
   • интегрируемость на интервале.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Отсортировать функции в порядке убывания количества необходимых применений метода интегрирования по частям для нахождения неопределенного интеграла.

   • $\int e^x \sin x dx$
   • $\int x e^x dx$
   • $\int \sin x dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Среди следующих интегралов выбрать те, для нахождения которых необходимо использовать метод интегрирования по частям.

   • $\int \tan \frac{x}{2} dx$
   • $\int x e^{x^2} dx$
   • $\int \ln x dx$
   • $\int x e^x dx$
   • $\int \sin x \cos x dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вставить недостающие слова в формулировку теоремы (в бланк ответа):
   Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ (1)_______________ на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет (2)_____________ на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$

   • (1) (дифференцируемы), (2) (первообразную).
   Правильно
   

   Неправильно
   

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция [latex]x = \varphi (t)[/latex] непрерывно дифференцируема на промежутке [latex]T[/latex], а на промежутку [latex]X[/latex] такой, что [latex]\forall t \in T[/latex], [latex]x = \varphi (t) \in X[/latex] определена непрерывная функция [latex]f(x).[/latex] Тогда,

$latex \int {f(x)dx}=$ $latex \int {f(\varphi (t))\varphi ‘} (t)dt$

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену [latex]u=g(x)[/latex], т.е. обозначаете некоторое выражение [latex]g(x)[/latex], входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой [latex]u[/latex], и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

$latex \int {\rm ctg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx =$ $latex \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex \ln \left| {\sin x} \right| + C.$ 

Пример 2:

$latex \int {\rm tg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx =$ $latex \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = — \sin xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex — \ln \left| {\cos x} \right| + C.$ 

Литература

• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(стр. 55-56).
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Онлайн лекции С.А. Лавриченко
• Высшая математика – просто и доступно!

Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти $latex I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx$. Сделав подстановку

будем иметь

2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену

будем иметь

Литература

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$\small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$\frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Литература:

• Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
• Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

  Интегрирование рациональных функций

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 3 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  Информация

  Интегрирование рациональных функций

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Правильных ответов: 0 из 3

  Ваше время:

  Время вышло

  Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 3

     1.

     Количество баллов: 2

     Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций

     • Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
     • Разложение знаменателя на простейшие дроби.
     • Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
     • Интегрирование простейших рациональных дробей.
     Правильно
     

     Неправильно
     
  2. Задание 2 из 3

     2.

     Количество баллов: 2

     Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
     Правильно
     

     Неправильно
     
  3. Задание 3 из 3

     3.

     Количество баллов: 2

     Выбрать равенства, соответствующие интегралам

     Элементы сортировки

     • $\ln\left | x-a \right |$
     • $\frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
     • $\frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
     • $\frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
     • $\frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

     • $\int \frac{A}{x-a}dx$

     • $\int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

     • $\int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

     • $\int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

     • $\int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

     Правильно
     

     Неправильно
     

  Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных