M2103. Таблица с разными числами в строке и столбце

Условие

Дана таблица [latex]n\times n[/latex], столбцы которой пронумерованы числами от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex]. В клетки таблицы расставляются числа [latex]1,2,\cdots,n[/latex] так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких [latex]n[/latex] существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их [latex]n-1[/latex] (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их [latex]n-2[/latex] (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их [latex](n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2}[/latex]

Поэтому в каждой строке их должно быть по [latex]\frac{n-1}{2}[/latex], следовательно, [latex]n[/latex] должно быт ьнечетным.

[latex]1[/latex] [latex]n[/latex] [latex]n-1[/latex] [latex]\cdots[/latex] [latex]2[/latex]
[latex]2[/latex] [latex]1[/latex] [latex]n[/latex] [latex]\cdots[/latex] [latex]3[/latex]
[latex]3[/latex] [latex]2[/latex] [latex]1[/latex] [latex]\cdots[/latex] [latex]4[/latex]
[latex]\vdots[/latex] [latex]\vdots[/latex] [latex]\vdots[/latex] [latex]\ddots[/latex] [latex]\vdots[/latex]
[latex]n-1[/latex] [latex]n-2[/latex] [latex]n-3[/latex] [latex]\cdots[/latex] [latex]n[/latex]
[latex]n[/latex] [latex]n-1[/latex] [latex]n-2[/latex] [latex]\cdots[/latex] [latex]1[/latex]

Приведем пример расстановки при нечетном [latex]n[/latex]. Пусть в первой строке записаны числа в порядке [latex]1,n,n-1,n-2,\cdots,2[/latex]

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел [latex]1,2,\cdots,n[/latex] встречается по одному разу. Рассмотрим [latex]m[/latex]-ю строку ([latex]m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \}[/latex]). В ее первых [latex]m[/latex] клетках стоят числа [latex]1,2,\cdots,m[/latex] в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно [latex]\left [\frac{m}{2} \right][/latex] хороших. В ее последних [latex]n-m[/latex] клетках(т.е. в столбцах с номерами [latex]m+1,m+2,\cdots,n[/latex]) стоят числа [latex]m+1,m+2,\cdots,n[/latex] в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно [latex]\left [\frac{n-m}{2} \right][/latex] хороших. Так как числа [latex]m[/latex] и [latex]n-m[/latex] разной четности, то в [latex]m[/latex]-й строке ровно [latex]\left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2}[/latex] хороших клеток.

К.Чувилин

M2103

Дана таблица $latex n\times n $, столбцы которой пронумерованы числами от $latex 1 $ до $latex n $. В клетки таблицы расставляются числа $latex 1,2,\cdots,n $ так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких $latex n $ существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их $latex n-1 $ (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их $latex n-2 $ (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их $latex (n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2} $

Поэтому в каждой строке их должно быть по $latex \frac{n-1}{2} $, следовательно, $latex n $ должно быт ьнечетным.

$latex 1 $ $latex n $ $latex n-1 $ $latex \cdots $ $latex 2 $
$latex 2 $ $latex 1 $ $latex n $ $latex \cdots $ $latex 3 $
$latex 3 $ $latex 2 $ $latex 1 $ $latex \cdots $ $latex 4 $
$latex \vdots $ $latex \vdots $ $latex \vdots $ $latex \ddots $ $latex \vdots $
$latex n-1 $ $latex n-2 $ $latex n-3 $ $latex \cdots $ $latex n $
$latex n $ $latex n-1 $ $latex n-2 $ $latex \cdots $ $latex 1 $

Приведем пример расстановки при нечетном $latex n $. Пусть в первой строке записаны числа в порядке $latex 1,n,n-1,n-2,\cdots,2 $

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел $latex 1,2,\cdots,n $ встречается по одному разу. Рассмотрим $latex m $-ю строку ( $m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} $). В ее первых $latex m $ клетках стоят числа $latex 1,2,\cdots,m $ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $latex \left [\frac{m}{2} \right] $ хороших. В ее последних $latex n-m $ клетках(т.е. в столбцах с номерами $latex m+1,m+2,\cdots,n $) стоят числа $latex m+1,m+2,\cdots,n $ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $latex \left [\frac{n-m}{2} \right] $ хороших. Так как числа $latex m $ и $latex n-m $ разной четности, то в $latex m $-й строке ровно $latex \left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2} $ хороших клеток.

Асимптоты и их поиск

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция [latex]f[/latex] определена на отрезке [latex](a; + \infty )[/latex]. Прямая [latex]y = kx + b[/latex] называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции [latex]f[/latex] при [latex]x \to + \infty [/latex], если

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0[/latex]

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при [latex]x \to — \infty [/latex].

Итак, прямая [latex]x=0[/latex] является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции [latex]y = \frac{1}{x}[/latex].
Определение 2. Пусть функция [latex]f[/latex] определена на [latex]( — \infty ,a)[/latex]. Прямая [latex]y = kx + b[/latex] называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции [latex]f[/latex] при [latex]x \to — \infty [/latex] если

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to — \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0[/latex]

Определение 3. Прямая [latex]x = {x_0}[/latex] называется вертикальной асимптотой графика функции [latex]f[/latex], если хотя бы одна из границ или

[latex]f(x_0 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty[/latex]

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции  [latex]f(x)[/latex] могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции [latex]f[/latex], надо найти такие значения[latex]{x_0}[/latex], для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции [latex]y = {e^{\frac{1}{{x — 2}}}}[/latex]. Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси [latex]R[/latex], кроме точки [latex]x=2[/latex]. Вычислим пределы:

[latex]\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 — 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = 0[/latex]

и

[latex]\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 + 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = \infty[/latex]

Следовательно, прямая [latex]x=2[/latex] является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при [latex]x \to 2 + 0[/latex].

ex

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции [latex]y = \frac{1}{x}[/latex]. Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to — 0} \frac{1}{x} =- \infty [/latex]

и

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} =\infty [/latex]

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

gip
Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.
Для того, что бы График функции [latex]f[/latex] имел при [latex]x \to \pm \infty [/latex] наклонную асимптоту [latex]y = kx + b[/latex], необходимо и достаточно, что бы

[latex]k = \mathop {\lim }\limits_{x \to\pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}[/latex]

[latex]b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) — kx)[/latex]

Пример 3. Найти асимптоты графика

[latex]f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x}[/latex]

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to +0} \frac{x — 3x + 1}{x}=+\infty[/latex]

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to -0} \frac{x — 3x + 1}{x}=-\infty[/latex]

Следовательно, прямая [latex]x=0[/latex] — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

[latex]f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x} = x — 3 + \frac{1}{x}[/latex]

Так как [latex]1/x \to 0[/latex] при [latex]x\to \infty[/latex], то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая [latex]y=x-3[/latex] является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку [latex]1/x>0[/latex] при [latex]x>0[/latex] и [latex]1/x<0[/latex] при [latex]x<0[/latex], кривая графика лежит выше асимптоты при [latex]x \to -\infty[/latex].

par

Литература

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
  • Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
  • Исследование функций

Метод интегрирования по частям



Теорема.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет первообразную на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$
или короче $$\int udv=uv -\int vdu.$$
Доказательство.
Пусть $u(x)v^\prime(x)$ имеет первообразную, тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем
$$\left(u(x)v(x)\right)^\prime=u(x)v^\prime(x)+u^\prime(x)v(x).$$
Получаем, что $u^\prime(x)v(x)$ является разностью производных двух функций, то-есть двух функций имеющих первообразные, следовательно сама имеет первообразную и справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx.$$
Замечание.
Если одна из функции дифференцируемая, а другая имеет первообразную, то их произведение не обязано иметь первообразную. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций $u(x)v^\prime(x$ или $u^\prime(x)v(x)$.
Пример 1.

[latex]\int {\ln xdx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = \ln x;\\dv = dx;\\du =\frac{{dx}}{x};\\v = x.\end{array} \right] = [/latex] [latex]x\ln x — \int{x \frac{{dx}}{x}} = [/latex] [latex] x\ln x — x + C[/latex]

Пример 2.

[latex]\int{x\cos xdx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = x;\\dv = \cos xdx;\\du = dx;\\v = \sin x.\end{array} \right] = [/latex] [latex] x\sin x — \int {\sin xdx} = [/latex] [latex] \sin xdx + \cos x + C [/latex]

Пример 3.

В некоторых случаях для вычисление интеграла нужно сложить уравнение. Так, например

[latex] I = \int {e^{ax}\sin{bx}dx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \sin{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v =- \frac{1}{b}\cos{bx}.\end{array} \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\int{ e^{ax}\cos{bx}dx}= [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \cos{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v = \frac{1}{b}\sin{bx}.\end{array} \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\left( {\frac{1}{b}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a}{b}\int {e^{ax}\sin{bx}dx} } \right) = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b^2}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a^2}{b^2}I [/latex]
Отсюда

[latex]I = [/latex] [latex] \int {e^{ax}\sin bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx — b\cos bx) + C [/latex]

По аналогии,

[latex]\int {e^{ax}\cos bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b\sin bx + a\cos bx) + C [/latex]

Литература

Смотрите также

Метод интегрирования по частям

Тест на тему: «Метод интегрирования по частям».


Таблица лучших: Метод интегрирования по частям

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метод подстановки

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция [latex]x = \varphi (t)[/latex] непрерывно дифференцируема на промежутке [latex]T[/latex], а на промежутку [latex]X[/latex] такой, что [latex]\forall t \in T[/latex], [latex]x = \varphi (t) \in X[/latex] определена непрерывная функция [latex]f(x).[/latex] Тогда,

$latex \int {f(x)dx}=$ $latex \int {f(\varphi (t))\varphi ‘} (t)dt$

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену [latex]u=g(x)[/latex], т.е. обозначаете некоторое выражение [latex]g(x)[/latex], входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой [latex]u[/latex], и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

$latex \int {\rm ctg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx =$ $latex \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex \ln \left| {\sin x} \right| + C.$ 

Пример 2:

$latex \int {\rm tg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx =$ $latex \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = — \sin xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex — \ln \left| {\cos x} \right| + C.$ 

Литература