Processing math: 100%

Метка: квадрируемые множества

8.1 Вычисление площадей

Будем называть декартовой плоскостью R2 множество всех упорядоченных пар действительных чисел (x,y). Элементы R2 называют точками, а числа x,y – координатами этих точек.

Пусть a⩽b,c⩽d. Множество всех точек, координаты (x,y) которых удовлеворяют неравенствам a⩽x⩽b,c⩽y⩽d, будем называть прямоугольником и обозначать [a,b;c,d]. Стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Если a=b или c=d, то прямоугольник [a,b;c,d] называется вырожденным.

Множество всех точек (x,y) , удовлетворяющих неравенствам a<x<b,c<y<d, называют внутренностью прямоугольника.

Площадью (или мерой) прямоугольника I≡[a,b;c,d] называется произведение длин его сторон, т.е. m(I)=(d−c)(b−a).

Фигурой (или элементарным множеством) назовем такое множество на плоскости, которое можно представить в виде объединения конечного числа прямоугольников. Фигура называется вырожденной, если она может быть представлена в виде конечного объединения вырожденных прямоугольников.

Предложение. Каждую фигуру можно разбить на конечное число прямоугольников с попарно непересекающимися внутренностями.

Это предложение принимаем без доказательства.

Определение. Пусть фигура X является объединением прямоугольников I1,…,In, у которых внутренности попарно не пересекаются. Тогда мерой фигуры X называется
m(X)=n∑k=1m(Ik).

Нетрудно показать, что данное определение меры не зависит от способа разбиения этой фигуры на прямоугольники с попарно непересекающимися внутренностями. Ясно, что мера вырожденной фигуры равна нулю.

Пусть теперь E – произвольное множество на плоскости, которое содержится в некотором прямоугольнике, т.е. ограниченное.Число m∗(E)=infX⊃Em(X), где нижняя грань берется по всевозможным фигурам X, содержащим множество E, называется внешней мерой Жордана множества E. Далее, число m∗(E)=supX⊂Em(X), где верхняя грань берется по всевозможным фигурам X, содержащимся во множестве E, называется внутренней мерой Жордана множества E.

Нетрудно показать, что если фигуры X и Y таковы, что X⊂Y, то m(X)⩽m(Y). Отсюда сразу следует, что для любого ограниченного множества E справедливо неравенство m∗(E)⩽m∗(E).

Определение. Если внутренняя мера множества E равна его внешней мере, то множество E называется измеримым по Жордану или квадрируемым. В этом случае общее значение внешней и внутренней мер называется мерой Жордана множества E и обозначается m(E).

Пусть E – множество всех точек из единичного квадрата [0,1;0,1], у которых обе координаты рациональны. Это множество не содержит ни одной невырожденной фигуры, т.к. в каждом невырожденном прямоугольнике существуют точки с иррациональными координатами. Значит, m∗(E)=0. С другой стороны, нетрудно показать, что любая фигура, содержащая множество E, содержит также единичный квадрат. Поэтому m∗(E)=1. Таким образом, m∗(E)<m∗(E), так что множество E неизмеримо по Жордану.

Определение. Пусть f – неотрицательная функция на отрезке [a,b]. Подграфиком функции f будем называть множество Ef всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам a⩽x⩽b,0⩽y⩽f(x).

Теорема. Пусть функция f неотрицательна и интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда ее подграфик Ef измерим и m(Ef)=b∫af(x)dx.

Возьмем разбиение a=x0<x1<⋯<xn=b отрезка [a,b] и обозначим mi=infx∈[xi,xi+1]f(x),Mi=supx∈[xi,xi+1]f(x). Далее пусть Δ_i=[xi,xi+1;0,mi], ¯Δi=[xi,xi+1;0,Mi], X_=n−1⋃i=0Δ_i, ¯X=n−1⋃i=0¯Δi.
Тогда, по определению меры фигуры, имеем m(X_)=n−1∑i=0m(Δ_i)=n−1∑i=0miΔxi=S_,
где S_ – нижняя сумма Дарбу функции f, соответствующая выбранному разбиению. Аналогично получаем, что m(¯X)=¯S, где ¯S – верхняя сумма Дарбу.
Поскольку функция f интегрируема, то ¯S—S_→0 вместе с диаметром разбиения. Следовательно, для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для любого разбиения диаметра, меньшего, чем δ, справедливо неравенство ¯S—S_<ε. Значит, m(¯X)−m(X_)<ε. Заметим, что X_⊂Ef⊂¯X. Поэтому m(X_)⩽m∗(Ef)⩽m∗(Ef)⩽m(¯X). Отсюда следует m∗(Ef)−m∗(Ef)<ε, а значит, m∗(Ef) и m∗(Ef) равны. Это означает, что множество Ef измеримо. Кроме того, из неравенств S_⩽m(Ef)⩽¯S и из того, что ¯S−S_→0 и ¯S→b∫af(x)dx, S_→b∫af(x)dx, вытекает, что m(Ef)=b∫af(x)dx.

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

  1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2+2, y=0, x=−2, x=1.
    Решение

    На отрезке [−2;1] график функции y=x2+2 расположен над осью Ox, поэтому:
    S=1∫−2(x2+2)dx=(x33+2x)|1−2=
    =13+2−(−83−4)=13+2+83+4=9

    Ответ: S=9.

  2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, y=x+1, y=0, x=3.
    Решение

    Фигура, площадь которой нам нужно найти, зарисована серым цветом.

    Этот пример полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов:

    • На отрезке [−1;1] над осью Ox расположен график прямой y=x+1;
    • На отрезке [1;3] над осью Ox расположен график гиперболы y=2x.

    Понятно, что площади нужно сложить, поэтому:
    S=1∫−1(x+1)dx+3∫12dxx=
    =(x22+x)|1−1+2(lnx)|31=
    =12+1−(12−1)+2(ln3−ln1)=
    =12+1−12+1+2(ln3−0)=2+2ln3=2(1+ln3)

    Ответ: S=2(1+ln3).

  3. Найти площадь множества, ограниченного линиями y=x2+1, x+y=3.
    Решение

    Найдем абсциссы точек пересечения графиков
    {y=x2+1y=3−x

    Решая эту систему, находим x1=−2, x2=1. Поэтому
    S=1∫−2(3−x)dx−1∫−2(x2+1)dx=
    =9−x22|1−2−(x33+x)|1−2=
    =9−12+2−43−83−2=4.5

    Ответ: S=4.5.

  4. Найти площадь круга x2+y2⩽R2.
    Решение

    Верхняя полуокружность задается уравнением y=√R2−x2, −R⩽x⩽R. Поэтому площадь верхнего полукруга равна
    S=R∫−R√R2−x2dx=2R∫0√R2−x2dx=
    =[x=Rz]=2R21∫0√1−z2dz=πR22,
    а значит, площадь всего круга равна πR2.

    Ответ: S=πR2.

Вычисление площадей

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Вычисление площадей».

См. также: