компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество $E \subset \mathbb{R}^n$ . Семейство открытых множеств $\left\{G_{\alpha}\right\}$ называется открытым покрытием множества $E$ , если каждая точка $x \in E$ принадлежит хотя бы одному из множеств $G_{\alpha}$ , т. е. если $E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$ .

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество $E$ . Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть $E \subset \mathbb{R}^n$ . Диаметром множества $E$ называется число $diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x — y \right |$ , т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из $E$ . Например, если $E = \left [a^1,b^1;…;a^n,b^n \right ]$ – $n$ -мерный сегмент, то, очевидно, $diam \> E = |b-a|$ , где $a = (a^1,…,a^n), b = (b^1,…,b^n)$ .

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть $\left\{I_{\nu}\right\}$ – последовательность вложенных сегментов из $\mathbb{R}^n$ , т. е. $I_1 \supset I_2 \supset…\supset I_{\nu} \supset…$ , диаметры которых стремятся к нулю при $\nu \mapsto \infty$ . Тогда существует, и притом единственная, точка $x_0$ , принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть $I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};…;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,…)$ . При каждом фиксированном $i = 1,…,n$ последовательность одномерных отрезков $\left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,…)$ состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. $[a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset … \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset …$ , и длины этих отрезков стремятся к нулю при $\nu \mapsto \infty$ . По лемме Кантора, для зафиксированного $i$ найдется число $x^i_0$ , такое, что $x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,…)$ , т. е. $a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,…)$ . Но тогда точка $x_0 = (x^1_0,…,x^n_0)$ , очевидно, принадлежит всем $I_{\nu}$ . Двух различных точек, принадлежащих всем $I_{\nu}$ одновременно, быть не может. Действительно, если ${x}’,{x}» \in I_{\nu} (\nu = 1,2,…)$ , то $|{x}’-{x}»| \leq diam \> I_{\nu}$ . По условию правая часть стремится к нулю при $\nu \mapsto \infty$ , так что ${x}’={x}»$ .

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: компактные множества

Компактные множества

Компактные множества

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Компактные множества