Нохум-Даниэль Блиндер

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства $\mathbb{R}^n$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество $F \subset \mathbb{R}^n$ имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество $F$ является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку $F$ еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, $F$ компактно. Для каждой точки $x \in F$ построим такую окрестность $U_x$ , в которой нет других точек из $F$ , кроме $x$ (если бы для какой-то точки $x$ такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для $F$ ). Тогда семейство $\left\{U_x \right\}_{x \in F}$ образует открытое покрытие компактного множества $F$ . Пользуясь компактностью $F$ , выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества $E$ . Но это противоречит тому, что множество $E$ бесконечно. $\square$
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству $E$ .

Литература:

В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.241-242)
Теорема Больцано-Вейерштрасса. Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Конспект З.М. Лысенко

Критерий компактности в n-мерном пространстве (Теорема Гейне – Бореля)

Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество $K \subset \mathbb{R}^n$ являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы $K$ было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть $K$ замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент $I \subset \mathbb{R}^n$ , содержащий $K$ . В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент $I$ компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество $K$ . Необходимость. Пусть $K$ — компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через $B_s$ открытый шар с центром в точке $0$ радиуса $s$ . Тогда последовательность шаров $\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1}$ покрывает все пространство $\mathbb{R}^n$ , а следовательно, и множество $K$ . Так как $K$ компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров $B_s$ . Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар $B^{\ast}$ . Тогда ясно, что $K \subset B^{\ast}$ , так что $K$ ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества $K$ . Для этого достаточно показать, что любая точка $y \notin K$ , не будет предельной для $K$ . Итак, пусть $y \notin K$ . Рассмотрим множества $G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,...)$ . Так как замкнутый шар $\overline{B}(y, \frac{1}{k})$ – множество замкнутое, следовательно его дополнение $G_k$ открыто. Кроме того, ясно, что $\bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}$ . Поскольку $y \notin K$ , то совокупность множеств $G_k (k = 1,2,...)$ образует открытое покрытие множества $K$ . Пользуясь компактностью $K$ , выберем из этого покрытия конечное подпокрытие $\left\{G_{k_1},...,G_{k_s}\right\}$ и положим $\rho = \frac{1}{max\left\{k_1,...,k_s\right\}} > 0$ . Отсюда следует, что шар $B(y,\rho)$ не имеет общих точек с множеством $K$ . Получаем, что точка $y$ не будет предельной для $K$ . $\square$

Литература:

Лемма Гейне-Бореля

Лемма (Гейне – Бореля). Произвольный сегмент в $\mathbb{R}^n$ является компактным множеством .

Доказательство. Обозначим через $I = [a^1,b^1;...;a^n,b^n]$ – сегмент в $\mathbb{R}^n$ . Докажем от противного. Пусть данный сегмент не является компактным. Тогда найдется такое открытое покрытие $\Omega$ сегмента $I$ , что никакое конечное подсемейство множеств из $\Omega$ не покрывает $I$ . Все стороны $[a^i,b^i]$ сегмента $I$ разделим пополам. Таким образом данный сегмент можно разбить на $2^n$ сегментов. По крайней мере один из них не покрывается конечным подсемейством множеств из $\Omega$ . В противном случае, исходный сегмент $I$ также мог бы быть покрытым конечным набором множеств из $\Omega$ , что приводит к противоречию. Обозначим через $I_1$ тот из подсегментов $I$ , который не может быть покрыт конечным набором множеств из $\Omega$ . Каждую из сторон сегмента $I_1$ опять разделим пополам и среди полученных $2^n$ сегментов, на которые окажется разбитым $I_1$ , возьмем тот, который не покрывается конечным подсемейством множеств из $\Omega$ . Обозначим его через $I_2$ и так далее. Продолжая подобные действия, получим последовательность вложенных сегментов $I \supset I_1 \supset I_2 \supset ... \supset I_{\nu} \supset ...$ , таких, что любой из сегментов $I_{\nu}$ не может быть покрыт каким-либо конечным подсемейством множеств из $\Omega$ . Заметим также, что $diam \> I_{\nu} = \frac{diam \> I}{2^{\nu}} \mapsto 0 (\nu \mapsto \infty)$ . Применив к полученной последовательности $I_{\nu}$ лемму о вложенных сегментах, найдем точку $x_0 \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...)$ . Поскольку $x_0 \in I$ , а $I$ покрыт семейством $\Omega$ открытых множеств, то найдется такое открытое множество $F \in \Omega$ , что $x_0 \in F$ . Поскольку множество $F$ открытое и точка $x_0 \in F$ , то эта точка внутренняя в $F$ . Это означает, что найдется такая окрестность $B(x_0,\delta)$ точки $x_0$ , которая целиком содержится во множестве $F$ . Но поскольку диаметры сегментов $I_{\nu}$ стремятся к нулю при $\nu \mapsto \infty$ , то, начиная с какого-то номера $\nu_0$ , они будут меньшими, чем $\delta$ , то есть. $diam \> I_{\nu} < \delta (\nu \geq \nu_0)$ . Учитывая, что $x_0 \in I_{\nu}$ , получаем, что $I_{\nu} \subset B(x_0,\delta)$ , а значит, $I_{\nu} \subset F$ . Итак, мы получили, что при $\nu \geq \nu_0$ сегмент $I_{\nu}$ содержится во множестве $F$ . Но это противоречит выбору сегментов $I_{\nu}$ , поскольку они были выбраны так, что никакое конечное подсемейство множеств из $\Omega$ не покрывает $I_{\nu}$ . Полученное противоречие завершает доказательство. $\square$

Литература:

В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.239-240)
Лемма Гейне-Бореля. Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Конспект лекций З.М. Лысенко.

Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество $E \subset \mathbb{R}^n$ . Семейство открытых множеств $\left\{G_{\alpha}\right\}$ называется открытым покрытием множества $E$ , если каждая точка $x \in E$ принадлежит хотя бы одному из множеств $G_{\alpha}$ , т. е. если $E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$ .

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество $E$ . Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть $E \subset \mathbb{R}^n$ . Диаметром множества $E$ называется число $diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x - y \right |$ , т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из $E$ . Например, если $E = \left [a^1,b^1;...;a^n,b^n \right ]$ – $n$ -мерный сегмент, то, очевидно, $diam \> E = |b-a|$ , где $a = (a^1,...,a^n), b = (b^1,...,b^n)$ .

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть $\left\{I_{\nu}\right\}$ – последовательность вложенных сегментов из $\mathbb{R}^n$ , т. е. $I_1 \supset I_2 \supset...\supset I_{\nu} \supset...$ , диаметры которых стремятся к нулю при $\nu \mapsto \infty$ . Тогда существует, и притом единственная, точка $x_0$ , принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть $I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};...;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...)$ . При каждом фиксированном $i = 1,...,n$ последовательность одномерных отрезков $\left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...)$ состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. $[a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset ... \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset ...$ , и длины этих отрезков стремятся к нулю при $\nu \mapsto \infty$ . По лемме Кантора, для зафиксированного $i$ найдется число $x^i_0$ , такое, что $x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,...)$ , т. е. $a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,...)$ . Но тогда точка $x_0 = (x^1_0,...,x^n_0)$ , очевидно, принадлежит всем $I_{\nu}$ . Двух различных точек, принадлежащих всем $I_{\nu}$ одновременно, быть не может. Действительно, если ${x}',{x}'' \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...)$ , то $|{x}'-{x}''| \leq diam \> I_{\nu}$ . По условию правая часть стремится к нулю при $\nu \mapsto \infty$ , так что ${x}'={x}''$ .

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Примеры замкнутых множеств

$\varnothing$ замкнуто (и, в то же время, открыто).
Отрезок $\left [a,b \right ] \subset \mathbb{R}$ на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
Множество $\mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ]$ будет замкнутым в пространстве рациональных чисел $\mathbb{Q}$ , но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}$ .
Произвольный замкнутый шар $B(x_0,r) = \left\{x : |x - x_0| \leq r \right\}$ будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку $x$ , не принадлежащую $B(x_0,r)$ , она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность $B(x,\rho)$ , в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять $\rho \leq |x-x_0|-r$ ).
Произвольный сегмент $I \equiv \left [a_1,b_1;...;a_n,b_n \right ]$ будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки $x$ , не принадлежащей $I$ , не будет содержать точек из $I$ . Действительно, так как $x \notin I$ , то найдется такое $j$ , что $x_j \notin \left [a_j,b_j \right ]$ . Пусть, к примеру, $x_j < a_j$ . Легко видеть, что шар $B(x,\rho)$ , где $0 < \rho \leq a_j - x_j$ , не имеет общих точек с $I$ . Следовательно, $I$ – замкнутое множество.
Рассмотрим множество $E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}$ . Отрезок $\left [-1,1 \right ]$ оси ординат целиком состоит из предельных точек множества $E$ , но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит $E$ . Поэтому множество $E$ не является замкнутым.