Натуральные, целые и рациональные числа
В процессе счёта возникли натуральные числа.
N={1,2,3,…,n,…}.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
Z={0,1,−1,2,−2,…,n,−n}.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
Q={mn,m∈Z,n∈N}.
Например: 12;58;−12;−118;−130…
Во множестве рациональных чисел Q выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени (a∗x+b=c), однако, простейшее уравнение x2=a, a∈N не всегда разрешимо в Q, в частности, уравнение x2=2 не имеет решений в Q.
Необходимость иррациональных чисел
Докажем, что уравнение x2=2 не имеет решений в Q.
Теорема
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа p и q — числитель и знаменатель данного рационального числа; p и q — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).
pq∈Q, (pq)2=2
p2=2q2 ⇒ p2⋮2
p2 — чётное число, тогда p — чётное.
Отсюда: p=2s
4s2=2q2|:2
2s2=q2⇒q2 — чётное ⇒q — чётное.
Получили противоречие того утверждения, что p и q — взаимно простые.
Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
1) 38=0,375 — конечная десятичная дробь;
0,375=3751000=38.
2) 2711=2,454545…=2,(45) — бесконечная периодическая десятичная дробь.
2,(45)=2+45100+451002+451003+⋯ =2+45(1100+11002+11003+⋯).
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Sn=b11−q, где b1 — первый член геометрической прогрессии, q — знаменатель прогрессии.
Получим: 2+45(1100+11002+11003+⋯)= 2+45∗11001−1100=
=2+4599=2511.
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с «0» в периоде.
0,375=0,375(0).
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с (9) с бесконечной периодической периодической дробью с (0).
2,5=2,5(0)=2,4+0,1=2,4+110= 2,4+(9100+91000+910000+⋯)= =2,4+910(110+1102+1103+⋯) =2,4+0,9(9)=2,4(9).
Тест "Существование иррациональных чисел".
Тестовые задания по вышеизложенной теме.
Источники:
- З. М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
- В. И. Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса, «Астропринт», 2009г.), стр.1.
- В. И. Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40. (скачать учебник можно здесь).
Подробнее про «существование иррациональных чисел» на: