корень из комплексного числа

Корень степени $n$ из комплексного числа

Пусть $z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right ).$ Тогда называется комплексное число $w$ , для которого верно равенство $w^n=z.$

Легко заметить, что при $z=0 \Rightarrow w=0.$ Поэтому предположим, что $z \neq 0$
Пусть $w=\rho \left ( \cos\psi + i\sin\psi \right ),$ чему тогда равны $\rho,\:\psi?$

Распишем равенство $w^n=z,\:z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right )$

$\left ( \rho \left ( \cos\psi +i\sin\psi \right ) \right )^n=r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$ Воспользуемся формулой Муавра:

$\rho^n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$ Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей.

$\rho = \sqrt[n]{r}$

$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$ Тогда:

$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$ Пришли к зависимости корня от параметра

$k$ . Рассмотрим лемму.

$w_k=w_l\Leftrightarrow \left ( k-l \right )\vdots \,n$

$w_k=w_l$ равные комплексные числа, а значит их аргументы равны

$\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}=\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi l}{n}+2\pi t$

$2\pi \left(k-l \right )=2\pi nt\Leftrightarrow k-l=nt\Leftrightarrow \left(k-l \right )\vdots \: n$

$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$ . В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны

$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$

$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$ Общий вид корня степени

$n$

$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$ где

$k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$

$\displaystyle\frac{\varphi }{n}$ называется фазой, $\displaystyle\frac{2\pi k}{n}$ называется сдвигом по фазе.

Так как все значения корня имеют одинаковый модуль, то есть одинаковое расстояние от начала координат (равное модулю этих корней), все они вписаны в окружность с центром в начале координат. Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа изображается как правильный $n$ -угольник.

Квадратный корень из комплексного числа

Извлечь квадратный корень из комплексного числа можно и без перехода к тригонометрической форме. Рассмотрим теорему

Если $z = a + bi,\:\left(a^2+b^2\neq 0\right),$ то существует ровно 2 корня

$b = 0,\:a > 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{a}$
$b = 0,\: a < 0 \Rightarrow w = \pm i\sqrt{a}$
$b \neq 0 \Rightarrow w = \pm \left(\sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2} + a} {2}}+i \, \mathop{\rm sign} \, b \sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$

Пусть $w=x+yi,$ где $x,\:y\in \mathbb{R}$

$w^2=z \Rightarrow (x+yi)^2=a+bi$

$x^2-y^2+2xyi=a+bi$ Получили

$x^2-y^2=a$

$2xy=b$ Если

$b=0$ , тогда или

$x=0$ , или

$y=0$ .

$b=0,\:y=0.$ Тогда получим $x^2=a \Rightarrow \: x\pm \sqrt{a}$
$b=0,\:x=0.$ Тогда получим $-y^2=a \Rightarrow a<0.$ Тогда $y^2=-a \Rightarrow y^2=ai^2\Rightarrow y=\pm\sqrt{a}i$
$b \neq 0,\: x \neq 0.$
Выразим $y$ из равенства
$y=\frac{b}{2x}$ Подставим значение $y$ в равенство, получим: Домножим обе части равенства на $4x^2$
$4x^4-4x^2a-b^2=0$

Воспользуемся формулой дискриминанта, тогда
$x_{1,2}^{2}=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{4}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2},\: x_{1,2}^{2}\in \mathbb{R}$
$x_{2}^{2}=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}<0,$ так как $x_{2}^{2}\in \mathbb{R} \Rightarrow$ не имеет решений
$x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

Выразим $y^2$ из равенства
$y^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}-a= \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}$ Тогда
$y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$ Из равенства следует, что $\mathop{\rm sign}\,xy=\mathop{\rm sign}\,b.$ Значит, если $\mathop{\rm sign}\,b>0$ то $\mathop{\rm sign}\,x=\mathop{\rm sign}\,y,$ если же $\mathop{\rm sign}\,b<0$ , то $\mathop{\rm sign}\,x=-\mathop{\rm sign}\,y.$ Откуда следует:
$w=\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\mathop{\rm sign}\,b \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$

Примеры решения задач

Найти общий вид корней третьей степени из $z=-\sqrt{3}+i$

Решение

Запишем $z$ в тригонометрической форме $z=2\left ( \cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} \right )$ Аргументы и модули корней третьей степени будут иметь вид: $\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[3]{z}=\frac{5 \pi }{18}+\frac{2 \pi k }{3},\:k=0,1,2$ $\left | \sqrt[3]{z} \right |=\sqrt[3]{2}$ Тогда общий вид корней будет таков $w_k=\left \{ \sqrt[3]{2}\left ( \cos\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right )+i\sin\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right ) \right ) \right \},$ $k=0,1,2$

[свернуть]
Найти значения квадратных корней из $z=3-4i$

Решение

$w_{1,2}=\pm \sqrt[2]{z},\:w=x+iy$ $\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $y^2=\frac{1}{2}\left (-3+5 \right )=1$ $x^2=\frac{1}{2}\left ( 3+5 \right )=4$ Откуда $x=\pm 2,\:y=\pm 1$ Значит $w_{1,2}=\pm \left(2-i\right)$

[свернуть]
Решите уравнение $z^2=2i$

Решение

$z=\pm \sqrt{2i}$ Уравнение будет иметь два корня $w_{1,2}$ . Найдем их
$w_{1,2}=\pm z,\:w=x+iy$ $\left | z^2 \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $y^2=\frac{1}{2}\left (0+2 \right )=1$ $x^2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1$ Откуда $x=\pm 1,\:y=\pm 1$ Значит корни уравнения будут равны $w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$

[свернуть]
Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$ ?

Решение

Найдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме $z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$ Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$ $\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$ Тогда общий вид корней будет таков $w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$ $k=0,1,2,3$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$

[свернуть]

Извлечение корней из комплексных чисел

Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
Принадлежит ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{25\pi}{24}+i\sin \frac{25\pi}{24} \right )$ множеству корней четвертой степени из $z=2\left ( \cos\frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6} \right )?$
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 1
Чему равен модуль комплексного числа $w=\sqrt[2]{z},$ при $z=64 \left( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right)$
Правильно

Неправильно

Правильный ответ — 8
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 2
Выберите все правильные утверждения
- Все корни степени $n$ из $z$ лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным модулю этих корней
- Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа геометрически изображаются правильным $2n$ -угольником
- Все корни степени $n$ из комплексного числа попарно различны
- Не из каждого комплексного числа можно извлечь корень
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 6

Количество баллов: 4

Установите соответствие между комплексными числами и комплексными числами, принадлежащими к множеству их квадратных корней

Элементы сортировки

$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{13 \pi}{8}+i\sin\frac{13 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{9 \pi}{8}+i\sin\frac{9 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{15 \pi}{8}+i\sin\frac{15 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{11 \pi}{8}+i\sin\frac{11 \pi}{8} \right )$

$-1-i$

$1+i$

$1-i$

$-1+i$

Задание 5 из 6

5.
Количество баллов: 4
Расставьте в порядке убывания модулей корней третьей степени из нижеприведенных комплексных чисел.
- $-2+3i$
- $2-i$
- $1+i$
- $i$
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 1
Заполните пропуск
- (Модули) корней из комплексного числа равны
Правильно

Неправильно

Метка: корень из комплексного числа

Извлечение корней из комплексных чисел

Корень степени $n$ из комплексного числа

Квадратный корень из комплексного числа

Примеры решения задач

Извлечение корней из комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Смотрите также

Корень степени nn из комплексного числа

Квадратный корень из комплексного числа

Примеры решения задач

Извлечение корней из комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Смотрите также

Корень степени $n$ из комплексного числа