Корень степени $n$ из комплексного числа

Определение Пусть $z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right ).$ Тогда корнем степени $n$ из комплексного числа $z$ называется комплексное число $w$, для которого верно равенство $w^n=z.$

Легко заметить, что при $z=0 \Rightarrow w=0.$ Поэтому предположим, что $z \neq 0$
Пусть $w=\rho \left ( \cos\psi + i\sin\psi \right ),$ чему тогда равны $\rho,\:\psi?$

Распишем равенство $w^n=z,\:z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right )$ $$\left ( \rho \left ( \cos\psi +i\sin\psi \right ) \right )^n=r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$ Воспользуемся формулой Муавра:$$ \rho^n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей. $$\rho = \sqrt[n]{r}$$ $$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$$ Тогда: $$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$$ Пришли к зависимости корня от параметра $k$. Рассмотрим лемму.

$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$. В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны $$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$$ $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$$Общий вид корня степени $n$ $$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$$ где $k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$

Замечание. $\displaystyle\frac{\varphi }{n}$ называется фазой, $\displaystyle\frac{2\pi k}{n}$ называется сдвигом по фазе.

Следствие. Так как все значения корня имеют одинаковый модуль, то есть одинаковое расстояние от начала координат (равное модулю этих корней), все они вписаны в окружность с центром в начале координат. Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа изображается как правильный $n$-угольник.

Квадратный корень из комплексного числа

Извлечь квадратный корень из комплексного числа можно и без перехода к тригонометрической форме. Рассмотрим теорему

Определение Пусть дано комплексное число $z = a + bi$, число имеющее противоположный знак при мнимой части называется сопряженным числом с $z$ и обозначается $\overline{z}$. В общем случае, сопряженным к $z = a + bi$ (где $a,\:b\in \mathbb{R}$) является $\overline{z} = a-bi$

Геометрическая интерпретация

На комплексной плоскости сопряженные числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси.

В полярной системе координат сопряженные числа имеют следующий вид — $re^{i\phi }$ и $re^{-i\phi }$, следует из формулы Эйлера

Корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом является пара сопряженных чисел.

Перейдем к рассмотрению свойств комплексно сопряженных чисел

Свойства

1. $\overline{\overline{z}}=z$

   Пусть $z = a + bi$. $$\overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi$$ $$\overline{\overline{z}} = \overline{a-bi} = a + bi =z$$

2. $\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}$

   $z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
   $$\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}=\overline{\left(a+c+ \left (b+d\right)i\right)}=a+c-\left( b+d\right)i$$ $$\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} = \overline{\left(a+bi\right)}+\overline{\left(c+di\right)} = a-bi+c-di = a+c-\left(b+d\right)i = \overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}$$

3. $\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} =\overline{z_{1}\cdot z_{2}}$

   $z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
   $$\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)}\cdot \overline{\left(c+di\right)}=\left(a-bi\right)\left(c-di\right)=ac-bd-\left(bc+ad\right)i$$ $$\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)\left(c+di\right)}=\overline{\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i}=$$ $$=ac-bd-\left(bc+ad\right)i=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}$$

4. $\overline{\left(\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}$

   $z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$ $$\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\overline{\left(\frac{a+bi}{c+di} \right )}=\overline{\left(\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di \right)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=\overline{\left(\frac{ac+bd+\left(bc-ad\right)i)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=$$ $$=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}$$ $$\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}=\frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}=\frac{a-bi}{c-di}=\frac{\left(a-bi \right)\left(c+di \right ) }{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}=\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}$$

5. $z=\overline{z}\Rightarrow z\in \mathbb{R}$

   $z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z=\overline{z}\Rightarrow z-\overline{z}=0$$ $$\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=0$$ $$2bi=0\Rightarrow b=0\Rightarrow z\in \mathbb{R}$$

6. $z+\overline{z}\in \mathbb{R}$

   $z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z+\overline{z}=\left(a+bi \right )+\left(a-bi \right )=2a$$ $$2a\in \mathbb{R}$$

7. $z-\overline{z}\in i\mathbb{R}$

   $z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z-\overline{z}=\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=2bi\in i\mathbb{R}$$

8. $z\cdot \overline{z}\geqslant 0$

   $z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z\cdot \overline{z}=\left(a+bi \right )\left(a-bi \right )=a^{2}+abi-abi-bi^{2}=a^{2}+b^{2}\geqslant 0$$

9. $\displaystyle\overline{\sum_{i=1}^{k}z_{i}}=\sum_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

   Докажем ММИ предполагая, что свойство 2 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k=m+1$ $$\overline{\sum_{i=1}^{m+1}z_{i}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m}\overline{z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$$

10. $\displaystyle\overline{\prod_{i=1}^{k}z_{i}}=\prod_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

    Докажем ММИ предполагая, что свойство 3 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k = m + 1$ $$\overline{\prod_{i=1}^{m+1}z_{i}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m}\overline{z_{i}} + \overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$$