критерий коши равномерной сходимости несобственных интегралов

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$ . Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$ , $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq$ $\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ . Докажем равномерную сходимость на $Y$ . Рассмотрим неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$ , при этом $\eta^{\prime\prime} < b$ . В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее: $\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$ . $\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$

Решение

Данный интеграл сходится $\forall y > 0$ . Если он сходится равномерно, то для любых (фиксированных) $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\geq\eta$ и при всех $y>0$ выполняется неравенство

$\int\limits_{\eta^{\prime}}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx <\varepsilon. (\bigstar)$

По теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, интеграл в левой части представляет собой непрерывную функцию переменной $y$ . Отсюда $F(y) \equiv \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx \rightarrow F(0) = \eta^{\prime\prime} — \eta^\prime (y \rightarrow 0).$

Так как $F(y) <\varepsilon$ , то и $F(0) = \lim\limits_{y \rightarrow 0}F(y) \leq\varepsilon$ , что означает $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime \leq\varepsilon$ . Однако из-за того, что $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta, +\infty)$ можно выбрать таким образом, что $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime$ будет сколь угодно большим, неравенство $\bigstar$ не выполняется для всех $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ из полуинтервала $[\eta, +\infty)$ . Значит, условие Коши для этого интеграла нарушено и он не является равномерно сходящимся. $\Box$

[свернуть]

Список литературы

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Задание 1 из 4

Определить области сходимости интегралов

Элементы сортировки

$Max(p, q) > 1$
$\left| \frac{p - 1}{q} \right| < 1$
$p < 1$
$p > \frac{1}{2}$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\cos x}{x^{p} + x^{q}}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x^{q}}}{x^{p}}dx$

$\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{|\ln x|^p}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x^{p} + \sin x}dx$

$(p>0)$

Задание 2 из 4

2.
Для равномерной сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно выполнение…
Задание 3 из 4

3.
Выберете интегралы, которые сходятся неравномерно в указанных промежутках
- $\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin xdx$ $(0 < \alpha_{0} \leq \alpha < +\infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x-\alpha)^2 + 1}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{1}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx$ $(a \leq \alpha \leq b)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\sqrt{\alpha}e^{-\alpha x^2}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
Задание 4 из 4

4.
Сформулируйте условие Коши.
- $\forall \varepsilon > 0$
- $\exists \eta < b$
- $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$
- выполняется неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| < \varepsilon$

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: критерий коши равномерной сходимости несобственных интегралов