Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$$
Доказательство
Необходимость
Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$. Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$, $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq $$ $$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$$ а значит, что условие Коши выполнено.
Достаточность
Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$. Докажем равномерную сходимость на $Y$. Рассмотрим неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$, при этом $\eta^{\prime\prime} < b$. В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее: $$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$. $\Box$
Пример
Проверить интеграл на равномерную сходимость.
$$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$$
Данный интеграл сходится $\forall y > 0$. Если он сходится равномерно, то для любых (фиксированных) $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\geq\eta$ и при всех $y>0$ выполняется неравенство
$$\int\limits_{\eta^{\prime}}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx <\varepsilon. (\bigstar)$$
По теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, интеграл в левой части представляет собой непрерывную функцию переменной $y$. Отсюда $$F(y) \equiv \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx \rightarrow F(0) = \eta^{\prime\prime} — \eta^\prime (y \rightarrow 0).$$
Так как $F(y) <\varepsilon$, то и $F(0) = \lim\limits_{y \rightarrow 0}F(y) \leq\varepsilon$, что означает $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime \leq\varepsilon$. Однако из-за того, что $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta, +\infty)$ можно выбрать таким образом, что $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime$ будет сколь угодно большим, неравенство $\bigstar$ не выполняется для всех $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ из полуинтервала $[\eta, +\infty)$. Значит, условие Коши для этого интеграла нарушено и он не является равномерно сходящимся. $\Box$
Список литературы
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 623-624
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 103-105
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, стр. 674
- Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, стр. 386 — 389
Тест
Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.
Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.
Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
рис. 3