Непрерывное векторное поле $(P(x,y),Q(x,y))$ называется потенциальным в области $G \subset \mathbb{R^2},$ если существует непрерывно дифференцируемая функция $U(x,y)$ , заданная на $G$ , такая, что

$\frac{\partial U}{\partial x} (x,y) = P(x,y), \quad\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y).$ Такая функция

$U$ называется потенциалом поля

$(P,Q)$ . Другими словами, функция

$U$ называется потенциалом поля

$(P,Q)$ , если

$dU(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy.$

Следующая теорема содержит необходимое и достаточное условие потенциальности поля.

Для того чтобы непрерывное поле $(P(x, y), Q(x, y))$ было потенциальным в области $G$ , необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие

$\int_{\Gamma} P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0\quad\quad(23.3)$ для любой кусочно гладкой замкнутой кривой

$\Gamma \subset G$ .

Пусть поле $(P,Q)$ потенциально, т. е. пусть существует такая функция $U(x,y),$ что

$\frac{\partial U}{\partial x} (x,y) = P(x,y),\quad\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y)\quad((x,y) \in G).$ Далее, пусть

$\Gamma : r = r(t) = (x(t),y(t))\quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ — произвольная кусочно гладкая, замкнутая кривая, лежащая в

$G.$ Тогда

$\int_{\Gamma} P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t),y(t))x^\prime(t) + Q(x(t),y(t))y^\prime(t)] dt =$

$= \int_{\alpha}^{\beta} \left [\frac{\partial U}{\partial x}(x(t),y(t))x\prime(t) + \frac{\partial U}{\partial y} (x(t),y(t))y^\prime(t)\right ] dt =$

$=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\partial}{\partial t} (x(t),y(t)) dt = U(x(\beta),y(\beta))-U(x(\alpha),y(\alpha)) = 0.$ Последнее равенство справедливо в силу условия

$r(\alpha) = r(\beta),$ т. е. в силу замкнутости кривой

$\Gamma.$
Достаточность. Пусть выполнено условие (23.3). Покажем сначала, что в этом случае криволинейный интеграл

$\int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy$ зависит лишь от начальной и от конечной точек кривой

$\gamma \subset G$ и не зависит от самой кривой

$\gamma,$ соединяющей эти точки.
Итак,пусть

$\gamma_{1} : r =r_{1}(t)\quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ и

$\gamma_{2} :\quad r =r_{2}(\tau)\quad(a \leqslant \tau \leqslant b)$ — две кусочно гладкие кривые, лежащие в

$G$ и такие, что

$r_{1}(\alpha) = r_{2}(a), r_{1}(\beta) = r_{2}(b).$ Тогда кривая

$\Gamma = \gamma_{1} \cup (\gamma_{2})_{-}$ является замкнутой, и поэтому, в силу условия (23.3),

$0 = \int_{\Gamma}P dx + Q dy = \int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy + \int_{(\gamma_{2})_{-}}P dx + Q dy =$

$= \int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy-\int_{\gamma_{2}}P dx + Q dy.$ Отсюда следует, что

$\int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy = \int_{\gamma_{2}}P dx + Q dy.$
Зафиксируем теперь точку

$(\xi_{0},\eta_{0}) \in G.$ В силу связности

$G$ , для любой точки

$(\xi,\eta) \in G$ найдется кусочно гладкая кривая

$\gamma \subset G,$ начало которой в точке

$(\xi_{0},\eta_{0}),$ а конец — в точке

$(\xi,\eta),$ причем для любой такой кривой интеграл

$\int_{\gamma}P dx + Q dy$ зависит лишь от точек

$(\xi_{0},\eta_{0})$ и

$(\xi,\eta).$ Таким образом, на

$G$ определена функция

$U(\xi,\eta) = \int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy,$ где

$\gamma \subset G$ — кусочно гладкая кривая, соединяющая точки

$(\xi_{0},\eta_{0})$ и

$(\xi,\eta).$ Покажем, что функция

$U(\xi,\eta)$ будет потенциалом нашего векторного поля, т. е.

$\frac{\partial U}{\partial \xi} (\xi,\eta) = P(\xi,\eta),\quad\frac{\partial U}{\partial \eta} (\xi,\eta) = Q(\xi,\eta).$ Пусть

$(\xi,\eta) \in G$ и

$\Delta\xi$ таково, что отрезок

$I,$ соединяющий точки

$(\xi,\eta)$ и

$\xi + \Delta\xi,\eta),$ содержится в

$G.$ Соединим точки

$(\xi_{0},\eta_{0})$ и

$(\xi,\eta)$ кривой

$\gamma \subset G.$ Тогда

$\frac{1}{\Delta\xi}[U (\xi + \Delta\xi,\eta) — U(\xi,\eta)$ ] =$

$= \frac{1}{\Delta\xi}\left[\int_{\gamma \cup I}P(x,y) dx + Q(x,y) dy-\int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy \right] =$

$=\frac{1}{\Delta\xi}\int_{I}P(x,y) dx + Q(x,y) dy = \frac{1}{\Delta\xi}\int_{\xi}^{\xi + \Delta\xi}P(x,\eta) dx = P(\xi + \theta\Delta\xi,\eta),$ где

$0 \leqslant \theta \leqslant 1.$ Последнее равенство справедливо в силу непрерывности функции

$P(x,y)$ и следует из теоремы о среднем значении для интеграла Римана по отрезку

$[\xi,\xi+\Delta\xi].$ При

$\Delta\xi \rightarrow 0$ правая часть стремится к

$P(\xi,\eta).$ Поэтому существует

$\frac{\partial U}{\partial \xi}(\xi,\eta) = \lim\limits_{\Delta\xi\to 0} \frac{U(\xi+\Delta\xi,\eta)-U(\xi,\eta)}{\Delta\xi} = P(\xi,\eta).$ Аналогично доказываем, что

$\frac{\partial U}{\partial \eta}(\xi,\eta) = Q(\xi,\eta).$ Наконец, поскольку функции

$P(\xi,\eta)$ и

$Q(\xi,\eta)$ непрерывны в

$G$ , то функция

$U(\xi,\eta)$ непрерывно дифференцируема в

$G.$

Замечание 1. В условии теоремы 1 не требуется, чтобы кривая $$ была контуром, т. е. эта кривая не обязана быть простой.

Замечание 2. При доказательстве достаточности было показано, что из равенства нулю криволинейного интеграла $II$ рода вдоль любой замкнутой кривой следует, что интеграл не зависит от кривой, а только лишь от начальной и конечной ее точек. Обратное утверждение, очевидно, также имеет место, т. е. если интеграл не зависит от кривой, соединяющей начальную и конечную точки, то по замкнутой кривой он равен нулю.

При доказательстве достаточности была построена такая функция $U$ , что $dU = P dx + Q dy$ , где заданные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ удовлетворяют условию (23.3). Ясно, что задача нахождения этой функции $U$ является двухмерным аналогом задачи нахождения первообразной в одномерном случае. Напомним, что в одномерном случае было показано, что для любой непрерывной функции $f$ ее первообразная $F$ может быть записана в виде интеграла с переменным верхним пределом

$F(x) = \int_{a}^xf(t)dt.$ Полученная нами формула

$U(\xi,\eta) = \int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y)dy \quad(\gamma : (\xi_{0},\eta_{0}) \rightarrow (\xi,\eta))$ является аналогом указанной выше формулы из одномерного случая для случая функции двух переменных. Следует, однако, отметить, что в пространстве

$\mathbb{R^2}$ уже не для каждой пары непрерывных функций

$P$ и

$Q$ найдется соответствующая функция

$U$ . Пример таких функций

$P$ и

$Q$ приведем ниже. Мы доказали, что функция

$U$ существует, если функции

$(P,Q)$ удовлетворяют условию (23.3).

Замечание 4. Можно показать, что условие (23.3) эквивалентно условию равенства нулю интеграла по любому кусочно гладкому контуру, т. е. можно рассматривать лишь простые кривые.

Теорема 1 не дает практических рекомендаций для выяснения вопроса о потенциальности поля $(P,Q),$ так как на практике условие (23.3) проверяется трудно.

Следующая теорема в частном случае содержит условие, легко проверяемое с практической точки зрения.

Пусть поле $(P(x,y),Q(x,y))$ непрерывно дифференцируемо в области $G \subset \mathbb{R^2}.$ Для того чтобы оно было потенциальным, необходимо, а если область $G$ односвязна, то и достаточно, чтобы было выполнено равенство

$\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\quad ((x,y) \in G) \quad (23.4)$

Пусть поле $(P,Q)$ потенциальное, т. е. пусть существует такая функция $U$ , что

$P(x,y) = \frac{\partial U}{\partial x}(x,y),\quad Q(x,y) = {\partial U}{\partial y}(x,y)\quad((x,y) \in G).$ Поскольку функции

$P$ и

$Q$ непрерывно дифференцируемы и

$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}(x,y),\quad\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}(x,y),$ то, в силу равенства смешанных производных функции

$U$ , которое следует из теоремы Шварца, получаем, что справедиво равенство (23.4).
Достаточность. Пусть область

$G$ односвязна. Возьмем произвольный кусочно гладкий контур

$\Gamma \subset G$ и обозначим через

$\Omega$ область, ограниченную этим контуром. Тогда, по формуле Грина, получим

$\int_{\Gamma}P dx + Q dy = \int\int_{\Omega}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy.$ Отсюда, в силу условия (23.4), следует, что по произвольному кусочно гладкому контуру

$\Gamma \subset G$ справедливо равенство

$\int_{\Gamma}P dx + Q dy = 0.$ С учетом замечания 4, из этого равенства следует, что поле

$(P,Q)$ является потенциальным.

В заключение рассмотрим пример, показывающий, что условие односвязности в теореме 2 нельзя отбросить. Этот же пример показывает, что не для любых непрерывных (и даже непрерывно дифференцируемых) функций $P$ и $Q$ существует такая функция $U,$ что $dU=Pdx+Qdy.$

Пусть $\small P(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2},\,Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\,\,((x,y)\neq(0,0)).\normalsize$ Функция $P$ и $Q$ удовлетворяют условию (23.4) в области $G\equiv\mathbb{R^2}\backslash{(0,0)},$ так как

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.$ Вместе с тем поле

$(P,Q)$ не является потенциальным, так как в противном случае было бы выполнено условие (23.3). Мы же покажем, что

$\int_\Gamma Pdx+Qdy\neq 0,$ где

$\Gamma$ – окружность

$x=\cos t,\,y=\sin t\,(0\leqslant t \leqslant 2\pi).$ Имеем

$\int_{\Gamma} P dx + Q dy = \int_{0}^{2\pi}[(-\sin t)(-\sin t)+\cos t\cos t]dt = 2\pi \neq 0.$
Таким образом, в неодносвязной области

$G$ наше поле не является потенциальным. Вместе с тем так как условие (23.4) выполнено, то, в силу теоремы 2, наше поле потенциально в любой односвязной области

$G$ , не содержащей начала координат.

Проверить, является ли векторное поле $\vec{F} = X\vec{i} + Y\vec{j} + Z\vec{k}$ потенциальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.
$\vec{F} = (9x + 5yz)\vec{i} + (9y + 5xz)\vec{j} + (9z + 5xy)\vec{k}$
Решение. Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы $rot\vec{F} = 0.$

$rot\vec{F} = (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i} + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec{j} + (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial k})\vec{k} =$ $= (5x-5x)\vec{i} + (5y-5y)\vec{j} + (5z-5z)\vec{k} = 0$

Значит, поле является потенциальным.
Вычисляем потенциальность с помощью этой формулы:

$U = \int_{x_{0}}^{x}P dx + \int_{y_{0}}^{y}Q dy + \int_{z_{0}}^{z}R dz + C$

В качестве точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ возьмем точку $(0,0,0)$
$U = \int_{0}^{x}(9x+5yz)|_{y=0\\z=0} dx + \int_{0}^{y}(9y+5xz)|_{x=0}dy + \int_{0}^{z}(9z+5xy)dz + C =$ $=\frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}y^2 + \frac{9}{2}z^2 + 5xyz +C$

Показать, что поле $\vec{a}=(y+\cos z)\vec{i} + x\vec{j}-x\sin z\vec{k}$ потенциально во всем пространстве и найти его потенциал.
Решение. Вычислим $\overline{rot}\vec{a}$

$rot\vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ {y+\cos z}& x& {-x\sin z}\end{vmatrix}=\vec{i}(0-0)-\vec{j}(-\sin z + \sin z)+$

$+(1-1)\vec{k}=\vec{0}$ т.е. поле

$\vec{a}$ потенциально . Вычисляем потенциальность с помощью этой формулы:

$U(x,y,z)=\int_{x_{0}}^{x}a_{x}(x,y_{0},z_{0}) dx+ \int_{y_{0}}^{y}a_{y}(x,y,z_{0}) dy+$

$+\int_{z_{0}}^{z}a_{z}(x,y,z) dz+C,$ а в качестве точки

$(x_{0},y_{0},z_{0})$ возьмем точку(0,0,0).

$U(x,y,z)=\int_{0}^x(0+\cos 0) dx + \int_{0}^y x dy-\int_{0}^z x\sin z dz =$

$=\int_{0}^x dx + x\int_{0}^y dy-x\int_{0}^z \sin z dz + C =$

$= x|_0^x + xy|_0^y+x\cos z|_0^z+C =$

$= x + xy + x\cos z-x\cos 0 + C =$

$= x + xy + x\cos z-x + C =$

$=xy+x\cos z + C.$

Показать,что векторное поле $\vec{F}$ является потенциальным.

$\vec{F}(x,y,z)=(3x+yz)\vec{i}+(3y+xz)\vec{j}+(3z+xy)\vec{k}$

Решение.Найдём роторную функцию:

$rot\vec{F}=\left ( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)\vec{i}+\left ( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)\vec{j}+\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\vec{k}$

Выпишем компоненты поля: $P=3x+yz,\quad Q=3y+xz,\quad R=3z+xy$ и найдьом их частные производние :

$\frac{\partial R}{\partial y}=(3z+xy)_{y}^{\prime}=x\,\frac{\partial Q}{\partial z}(3y+xy)_{z}^{\prime}=x, \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x-x=0$

$\frac{\partial P}{\partial z}=(3x+yz)_{z}^{\prime}=y \, \frac{\partial R}{\partial x}=(3z+xy)_{x}^{\prime}=y\, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y-y=0$

$\frac{\partial Q}{\partial x}=(3y+xz)_{x}^{\prime}=z\,\frac{\partial P}{\partial y}=(3x+yz)_{y}^{\prime}=z\,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(z-z)=0$

Получаем $rot\vec{F}=(x-x)\vec{i}+(y-y)\vec{j}+(z-z)\vec{k}=0,$ следовательно, поле $\vec{F}(x,y,z)=(3x+yz)\vec{i}+(3y+xz)\vec{j}+(3z+xy)\vec{k}$ потенциально.

Литература:

Потенциальные поля

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Непрерывное векторное поле $(P(x,y),Q(x,y))$ называется потенциальным в области $G \subset \mathbb{R^2},$ если:
- Существует непрерывно дифференцируемая функция $U(x,y)$ , заданная на $G$ ,
- Предел функции $U(x,y)$ стремится к нулю
- Функция монотонно убывающая
- Функция монотонно возрастающая
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 7
Сформулируйте теорему:
- Пусть поле $(P(x,y),Q(x,y))$ непрерывно дифференцируемо в области $G \subset \mathbb{R^2}.$
- Для того чтобы оно было потенциальным,
- необходимо,
- а если область $G$ односвязна, то и достаточно,
- чтобы было выполнено равенство
- $\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)$
- $((x,y) \in G).\quad\quad$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 2
Непрерывное векторное поле $(P(x,y),Q(x,y))$ называется ______________ в области $G \subset \mathbb{R^2},$ если существует непрерывно дифференцируемая функция $U(x,y)$ , заданная на $G$ , такая, что $\frac{\partial U}{\partial x} (x,y) = P(x,y), \quad\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y).$
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 4

4.

Количество баллов: 4

Найдите потенциалы

Элементы сортировки

$u=xyz(x+y+z)+C$
$\frac{1}{3}$
$u=\frac{m}{r}$
$u(x,y,z)=\sum_{i=1}^{n} \frac{m_i}{r_i}$

$a=yz(2x + y +z)i+$

$+xz(x+2y+z)j+$

$+xy(x+y+2z)k$

$a=\frac{2}{(y+z)^(\frac{1}{2})} i-\frac{x}{(y+z)^(\frac{3}{2})} j-$

$-\frac{x}{(y+z)^(\frac{3}{2})}k$

$a=-\frac{m}{r^3}r$

$m_i(i=1,2,....,n)$

$M_i(i=1,2,...n)$

Таблица лучших: Потенциальные поля

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: кусочно гладкая замкнутая кривая

23.5 Потенциальные поля

Литература:

Потенциальные поля

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Потенциальные поля

Средний результат
Ваш результат