23.5 Потенциальные поля

Непрерывное векторное поле $(P(x,y),Q(x,y))$ называется потенциальным в области $G \subset \mathbb{R^2},$ если существует непрерывно дифференцируемая функция $U(x,y)$, заданная на $G$, такая, что $$\frac{\partial U}{\partial x} (x,y) = P(x,y), \quad\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y).$$ Такая функция $U$ называется потенциалом поля $(P,Q)$. Другими словами, функция $U$ называется потенциалом поля $(P,Q)$, если $$dU(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy.$$

Следующая теорема содержит необходимое и достаточное условие потенциальности поля.

Теорема 1. Для того чтобы непрерывное поле $(P(x, y), Q(x, y))$ было потенциальным в области $G$, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие $$\int_{\Gamma} P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0\quad\quad(23.3)$$ для любой кусочно гладкой замкнутой кривой $\Gamma \subset G$.

Необходимость. Пусть поле $(P,Q)$ потенциально, т. е. пусть существует такая функция $U(x,y),$ что $$\frac{\partial U}{\partial x} (x,y) = P(x,y),\quad\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y)\quad((x,y) \in G).$$ Далее, пусть $\Gamma : r = r(t) = (x(t),y(t))\quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ — произвольная кусочно гладкая, замкнутая кривая, лежащая в $G.$ Тогда $$\int_{\Gamma} P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t),y(t))x^\prime(t) +  Q(x(t),y(t))y^\prime(t)] dt =$$ $$= \int_{\alpha}^{\beta} \left [\frac{\partial U}{\partial x}(x(t),y(t))x\prime(t) + \frac{\partial U}{\partial y} (x(t),y(t))y^\prime(t)\right ] dt =$$ $$=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\partial}{\partial t} (x(t),y(t)) dt = U(x(\beta),y(\beta))-U(x(\alpha),y(\alpha)) = 0.$$ Последнее равенство справедливо в силу условия $r(\alpha) = r(\beta),$ т. е. в силу замкнутости кривой $\Gamma.$
    Достаточность. Пусть выполнено условие (23.3). Покажем сначала, что в этом случае криволинейный интеграл $\int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy$ зависит лишь от начальной и от конечной точек кривой $\gamma \subset G$ и не зависит от самой кривой $\gamma,$ соединяющей эти точки.
Итак,пусть $\gamma_{1} : r =r_{1}(t)\quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ и $\gamma_{2} :\quad r =r_{2}(\tau)\quad(a \leqslant \tau \leqslant b)$ — две кусочно гладкие кривые, лежащие в $G$ и такие, что $r_{1}(\alpha) = r_{2}(a), r_{1}(\beta) = r_{2}(b).$ Тогда кривая $\Gamma = \gamma_{1} \cup (\gamma_{2})_{-}$ является замкнутой, и поэтому, в силу условия (23.3), $$0 = \int_{\Gamma}P dx + Q dy = \int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy + \int_{(\gamma_{2})_{-}}P dx + Q dy = $$ $$= \int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy-\int_{\gamma_{2}}P dx + Q dy.$$ Отсюда следует, что $\int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy = \int_{\gamma_{2}}P dx + Q dy.$
Зафиксируем теперь точку $(\xi_{0},\eta_{0}) \in G.$ В силу связности $G$, для любой точки $(\xi,\eta) \in G$ найдется кусочно гладкая кривая $\gamma \subset G,$ начало которой в точке $(\xi_{0},\eta_{0}),$ а конец — в точке $(\xi,\eta),$ причем для любой такой кривой интеграл $\int_{\gamma}P dx + Q dy$ зависит лишь от точек $(\xi_{0},\eta_{0})$ и $(\xi,\eta).$ Таким образом, на $G$ определена функция $$U(\xi,\eta) = \int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy,$$ где $\gamma \subset G$ — кусочно гладкая кривая, соединяющая точки $(\xi_{0},\eta_{0})$ и $(\xi,\eta).$ Покажем, что функция $U(\xi,\eta)$ будет потенциалом нашего векторного поля, т. е. $$\frac{\partial U}{\partial \xi} (\xi,\eta) = P(\xi,\eta),\quad\frac{\partial U}{\partial \eta} (\xi,\eta) = Q(\xi,\eta).$$ Пусть $(\xi,\eta) \in G$ и $\Delta\xi$ таково, что отрезок $I,$ соединяющий точки $(\xi,\eta)$ и $\xi + \Delta\xi,\eta),$ содержится в $G.$ Соединим точки $(\xi_{0},\eta_{0})$ и $(\xi,\eta)$ кривой $\gamma \subset G.$ Тогда $$\frac{1}{\Delta\xi}[U (\xi + \Delta\xi,\eta) — U(\xi,\eta)$ ] =$$ $$= \frac{1}{\Delta\xi}\left[\int_{\gamma \cup I}P(x,y) dx + Q(x,y) dy-\int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy \right] =$$ $$=\frac{1}{\Delta\xi}\int_{I}P(x,y) dx + Q(x,y) dy = \frac{1}{\Delta\xi}\int_{\xi}^{\xi + \Delta\xi}P(x,\eta) dx = P(\xi + \theta\Delta\xi,\eta),$$ где $0 \leqslant \theta \leqslant 1.$ Последнее равенство справедливо в силу непрерывности функции $P(x,y)$ и следует из теоремы о среднем значении для интеграла Римана по отрезку $[\xi,\xi+\Delta\xi].$ При $\Delta\xi \rightarrow 0$ правая часть стремится к $P(\xi,\eta).$ Поэтому существует $$\frac{\partial U}{\partial \xi}(\xi,\eta) = \lim\limits_{\Delta\xi\to 0} \frac{U(\xi+\Delta\xi,\eta)-U(\xi,\eta)}{\Delta\xi} = P(\xi,\eta).$$ Аналогично доказываем, что $$\frac{\partial U}{\partial \eta}(\xi,\eta) = Q(\xi,\eta).$$ Наконец, поскольку функции $P(\xi,\eta)$ и $Q(\xi,\eta)$ непрерывны в $G$, то функция $U(\xi,\eta)$ непрерывно дифференцируема в $G.$

Замечание 1. В условии теоремы 1 не требуется, чтобы кривая $$ была контуром, т. е. эта кривая не обязана быть простой.

Замечание 2. При доказательстве достаточности было показано, что из равенства нулю криволинейного интеграла $II$ рода вдоль любой замкнутой кривой следует, что интеграл не зависит от кривой, а только лишь от начальной и конечной ее точек. Обратное утверждение, очевидно, также имеет место, т. е. если интеграл не зависит от кривой, соединяющей начальную и конечную точки, то по замкнутой кривой он равен нулю.

Замечание 3. При доказательстве достаточности была построена такая функция $U$, что $dU = P dx + Q dy$, где заданные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ удовлетворяют условию (23.3). Ясно, что задача нахождения этой функции $U$ является двухмерным аналогом задачи нахождения первообразной в одномерном случае. Напомним, что в одномерном случае было показано, что для любой непрерывной функции $f$ ее первообразная $F$ может быть записана в виде интеграла с переменным верхним пределом $$F(x) = \int_{a}^xf(t)dt.$$ Полученная нами формула $$U(\xi,\eta) = \int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y)dy \quad(\gamma : (\xi_{0},\eta_{0}) \rightarrow (\xi,\eta))$$ является аналогом указанной выше формулы из одномерного случая для случая функции двух переменных. Следует, однако, отметить, что в пространстве $\mathbb{R^2}$ уже не для каждой пары непрерывных функций $P$ и $Q$ найдется соответствующая функция $U$. Пример таких функций $P$ и $Q$ приведем ниже. Мы доказали, что функция $U$ существует, если функции $(P,Q)$ удовлетворяют условию (23.3).

Замечание 4. Можно показать, что условие (23.3) эквивалентно условию равенства нулю интеграла по любому кусочно гладкому контуру, т. е. можно рассматривать лишь простые кривые.

Замечание 5. Теорема 1 не дает практических рекомендаций для выяснения вопроса о потенциальности поля $(P,Q),$ так как на практике условие (23.3) проверяется трудно.

Следующая теорема в частном случае содержит условие, легко проверяемое с практической точки зрения.

Теорема 2. Пусть поле $(P(x,y),Q(x,y))$ непрерывно дифференцируемо в области $G \subset \mathbb{R^2}.$ Для того чтобы оно было потенциальным, необходимо, а если область $G$ односвязна, то и достаточно, чтобы было выполнено равенство $$\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\quad ((x,y) \in G) \quad (23.4)  $$

Необходимость. Пусть поле $(P,Q)$ потенциальное, т. е. пусть существует такая функция $U$, что $$P(x,y) = \frac{\partial U}{\partial x}(x,y),\quad Q(x,y) = {\partial U}{\partial y}(x,y)\quad((x,y) \in G).$$ Поскольку функции $P$ и $Q$ непрерывно дифференцируемы и $$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}(x,y),\quad\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}(x,y),$$ то, в силу равенства смешанных производных функции $U$, которое следует из теоремы Шварца, получаем, что справедиво равенство (23.4).
    Достаточность. Пусть область $G$ односвязна. Возьмем произвольный кусочно гладкий контур $\Gamma \subset G$ и обозначим через $\Omega$ область, ограниченную этим контуром. Тогда, по формуле Грина, получим $$\int_{\Gamma}P dx + Q dy = \int\int_{\Omega}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy.$$ Отсюда, в силу условия (23.4), следует, что по произвольному кусочно гладкому контуру $\Gamma \subset G$ справедливо равенство $$\int_{\Gamma}P dx + Q dy = 0.$$ С учетом замечания 4, из этого равенства следует, что поле $(P,Q)$ является потенциальным.

В заключение рассмотрим пример, показывающий, что условие односвязности в теореме 2 нельзя отбросить. Этот же пример показывает, что не для любых непрерывных (и даже непрерывно дифференцируемых) функций $P$ и $Q$ существует такая функция $U,$ что $dU=Pdx+Qdy.$

Пример. Пусть $\small P(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2},\,Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\,\,((x,y)\neq(0,0)).\normalsize$ Функция $P$ и $Q$ удовлетворяют условию (23.4) в области$G\equiv\mathbb{R^2}\backslash{(0,0)},$ так как $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$ Вместе с тем поле $(P,Q)$ не является потенциальным, так как в противном случае было бы выполнено условие (23.3). Мы же покажем, что $\int_\Gamma Pdx+Qdy\neq 0,$ где $\Gamma$ – окружность $x=\cos t,\,y=\sin t\,(0\leqslant t \leqslant 2\pi).$ Имеем $$\int_{\Gamma} P dx + Q dy = \int_{0}^{2\pi}[(-\sin t)(-\sin t)+\cos t\cos t]dt = 2\pi \neq 0.$$
Таким образом, в неодносвязной области $G$ наше поле не является потенциальным. Вместе с тем так как условие (23.4) выполнено, то, в силу теоремы 2, наше поле потенциально в любой односвязной области $G$, не содержащей начала координат.

Пример 1. Проверить, является ли векторное поле $\vec{F} = X\vec{i} + Y\vec{j} + Z\vec{k}$ потенциальным. В случае потенциальности поля  найти его потенциал.
$\vec{F} = (9x + 5yz)\vec{i} + (9y + 5xz)\vec{j} + (9z + 5xy)\vec{k}$
Решение. Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы $rot\vec{F} = 0.$

$rot\vec{F} = (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i} + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec{j} + (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial k})\vec{k} = $ $= (5x-5x)\vec{i} + (5y-5y)\vec{j} + (5z-5z)\vec{k} = 0$

Значит, поле является потенциальным.
Вычисляем потенциальность с помощью этой формулы:

$U = \int_{x_{0}}^{x}P dx + \int_{y_{0}}^{y}Q dy + \int_{z_{0}}^{z}R dz + C$

В качестве точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ возьмем точку $(0,0,0)$
$U = \int_{0}^{x}(9x+5yz)|_{y=0\\z=0} dx + \int_{0}^{y}(9y+5xz)|_{x=0}dy + \int_{0}^{z}(9z+5xy)dz + C = $ $=\frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}y^2 + \frac{9}{2}z^2 + 5xyz +C$

Пример 2. Показать, что поле $\vec{a}=(y+\cos z)\vec{i} + x\vec{j}-x\sin z\vec{k}$ потенциально во всем пространстве и найти его потенциал.
Решение. Вычислим $\overline{rot}\vec{a}$

$rot\vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ {y+\cos z}& x& {-x\sin z}\end{vmatrix}=\vec{i}(0-0)-\vec{j}(-\sin z + \sin z)+$ $$+(1-1)\vec{k}=\vec{0}$$ т.е. поле $\vec{a}$ потенциально . Вычисляем потенциальность с помощью этой формулы: $$U(x,y,z)=\int_{x_{0}}^{x}a_{x}(x,y_{0},z_{0}) dx+ \int_{y_{0}}^{y}a_{y}(x,y,z_{0}) dy+$$ $$+\int_{z_{0}}^{z}a_{z}(x,y,z) dz+C,$$  а в качестве точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ возьмем точку(0,0,0). $$U(x,y,z)=\int_{0}^x(0+\cos 0) dx + \int_{0}^y x dy-\int_{0}^z x\sin z dz =$$ $$=\int_{0}^x dx + x\int_{0}^y dy-x\int_{0}^z \sin z dz + C =$$ $$= x|_0^x + xy|_0^y+x\cos z|_0^z+C =$$ $$= x + xy + x\cos z-x\cos 0 + C =$$ $$= x + xy + x\cos z-x + C =$$ $$=xy+x\cos z + C.$$

Пример3.Показать,что векторное поле $\vec{F}$ является потенциальным.

$\vec{F}(x,y,z)=(3x+yz)\vec{i}+(3y+xz)\vec{j}+(3z+xy)\vec{k}$

Решение.Найдём роторную функцию:

$rot\vec{F}=\left ( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)\vec{i}+\left ( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)\vec{j}+\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\vec{k}$

Выпишем компоненты поля:$P=3x+yz,\quad Q=3y+xz,\quad R=3z+xy$ и найдьом их частные производние :

$\frac{\partial R}{\partial y}=(3z+xy)_{y}^{\prime}=x\,\frac{\partial Q}{\partial z}(3y+xy)_{z}^{\prime}=x, \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x-x=0$

$\frac{\partial P}{\partial z}=(3x+yz)_{z}^{\prime}=y \, \frac{\partial R}{\partial x}=(3z+xy)_{x}^{\prime}=y\, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y-y=0$

$\frac{\partial Q}{\partial x}=(3y+xz)_{x}^{\prime}=z\,\frac{\partial P}{\partial y}=(3x+yz)_{y}^{\prime}=z\,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(z-z)=0$

Получаем $rot\vec{F}=(x-x)\vec{i}+(y-y)\vec{j}+(z-z)\vec{k}=0,$ следовательно, поле $\vec{F}(x,y,z)=(3x+yz)\vec{i}+(3y+xz)\vec{j}+(3z+xy)\vec{k}$ потенциально.

Литература:

Потенциальные поля

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме


Таблица лучших: Потенциальные поля

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий потенциальности поля

Теорема

Для того чтобы дифференцируемое в области $G$ поле было потенциальным необходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}.(1)$$

Доказательство:

Необходимость:

Пусть поле $(P(x, y), Q(x, y))$ непрерывно дифференцируемо и потенциально. Тогда
$$P(x, y) = \frac{\partial U(x,y))}{\partial x},\quad Q(x, y) = \frac{\partial U(x,y))}{\partial y},$$ откуда
$$\frac{\partial Q(x,y))}{\partial x}=\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x\,\partial y},\quad
\frac{\partial P(x,y))}{\partial y}=\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y\,\partial x}.$$

Так как производные $\frac{\partial P}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial x}$ непрерывны, то смешанные производные $U_{x,y},\,U_{y,x}$ также непрерывны, а следовательно, равны. Условие (1) выполнено в области $G$.

Достаточность:

Пусть поле $(P, Q)$ задано в односвязной области $G \subset \mathbb{R}^{2}$ и выполнено условие (1).

Возьмем произвольную простую замкнутую ломанную $L \subset G$. Так как область $G$ односвязна, то ограничиваемая ломанной $L$ область $\Omega \subset G$ и к ней применима формула Грина:
$${ \underset { L }{ \int } \left(P\,dx+Q\,dy\right)}={ \underset { \Omega }{ \iint } (\frac{\partial Q}{\partial x} — \frac{\partial P}{\partial y})dx\,dy}=0.(2)$$

Таким образом, интеграл (2) равен нулю для любой простой замкнутой ломанной $L$.

Покажем, что интеграл (2) равен нулю для любой простой замкнутой ломанной (даже имеющей точки самопересечения).

Для трехзвенной ломанной интеграл (2) всегда равен нулю, если эта ломанная замкнута. Если три её вершины не лежат на одной прямой, то трехзвенная ломанная будет простой и по доказанному интеграл (2) равен нулю. Если же все три вершины лежат на одной прямой, то и в этом случае интеграл равен нулю(иллюстрация 1).
Иллюстрация 1
Докажем, что интеграл (2) равен нулю для любой $n$-звенной замкнутой ломанной индукцией по числу звеньев.

Пусть выполнено условие (1) и интеграл (2) равен нулю по любой замкнутой ломанной, число звеньев которой меньше, чем $n$. Покажем тогда, что он равен нулю и для любой $n$-звенной ломанной. Если ломанная $L(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n},A_{1})$ простая, то это уже доказано. Пусть у $L$ есть точки самопересечения. Предположим, что два звена, $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k+1}$, пересекаются. Тогда либо они пересекаются в единственной точке $B$(иллюстрация 1), либо эти два звена пересекаются по целому отрезку. В этом случае точки $A_{1},\,A_{2},\,A_{k},\,A_{k+1}$ лежат на одной прямой(иллюстрация 2).

Иллюстрация 2
Рассмотрим случай, когда звенья пересекаются в единственной точке. За последующими рассуждениями проще следить по иллюстрации 2. В случаях 1 и 2 ломанная $L$ будет объединением замкнутых ломанных $L_{1}(B, A_{k+1},\cdots,A_{n},A_{1},B)$ и $L_{2}(B, A_{2},\cdots,A_{k},B)$. Количество звеньев $L_{1}$ и $L_{2}$ меньше $n$. По предположению индукции интеграл (2) по каждой из этих ломанных равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по их объединению ломанной $L$.

Аналогично рассматривается и второй случай, когда точки $A_{1},A_{2},A_{k},A_{k+1}$ лежат на одной прямой и отрезки $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k+1}$ пересекаются. Без ограничения общности можно считать, что точка $A_{k}$ лежит на отрезке $A_{1}A_{2}$. Тогда $L$ есть объединение замкнутых ломанных $L_{1}(A_{k}, A_{k+1},\cdots,A_{n},A_{1}, A_{k})$ и $L_{2}(A_{k},A_{2},\cdots,A_{k+1},A_{k})$, имеющих меньше, чем $n$ звеньев. Интеграл (2) по $L_{1}$ и $L_{2}$ равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по ломанной $L$.

Так как интеграл (2) равен нулю на любой замкнутой ломанной $L\subset G$, то в силу теоремы об условиях независимости величины криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования, поле $(P,Q)$ будет потенциальным. Что и требовалось доказать!

Спойлер

Определить, потенциально или нет поле $(P(x,y),Q(x,y))$, где $P(x,y)=3+2xy,$ $Q(x,y)=x^{2} — 3y^{2}.$

Решение:

Областью определения поля является вся плоскость $\mathbb{R}^2$. Так как данная область односвязна, можно воспользоваться критерием потенциальности поля. Тогда найдем $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$ и $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$.

$$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=2x$$
$$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=2x$$

$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=2x=\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$, значит, по критерию потенциальности поля, поле $(P(x,y),Q(x,y))$ потенциально!

[свернуть]

Спойлер

Определить, потенциально или нет поле $(P(x,y),Q(x,y))$, где $P(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \quad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.$

Решение:

Областью определения поля является является плоскость $\mathbb{R}^2$ с выколотой точкой $(0,0)$. Значит, область не односвязна. Рассмотрим единичную окружность $С_{R}$, заданную уравнениями $x=\cos{t},\,y=\sin{t},\,0 \leq t \leq 2\pi.$ Тогда
$${ \underset { C_{R} }{ \int }\left(P\,dx+Q\,dy\right)}={\underset{C_{R}}{\int}\frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}} = \iint\limits_{0}^{2\pi}dt=2\pi.$$
И тогда, по теореме об условиях независимости величины криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования, поле $(P(x,y),Q(x,y))$ не потенциально!

[свернуть]

Спойлер

Показать, что непрерывно дифференцируемое при $x^2+y^2>0$ плоское векторное поле $$P(x, y)=-\frac{\omega }{2\cdot\pi}\cdot\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, Q(x, y)=\frac{\omega }{2\cdot\pi}\cdot\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$$
удовлетворяет условию $$\frac{\partial P(x,y))}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y))}{\partial x},$$ но не является потенциальным про $\omega \neq 0$.

Решение:

Условие выполняется, так как $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}\cdot\frac{y^{2}-x^{2}}{(y^{2}+x^{2})^{2}}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$
Рассмотрим окружность $C_{R}$, заданную уравнениями $x=R\cdot\cos{t},\, y=R\cdot\sin{t},\, 0 \leq t \leq2\cdot\pi$. Тогда
$${ \underset { C_{R} }{ \int } P\,dx+Q\,dy} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}\cdot{\underset{C_{R}}{\int}\frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}\cdot\int_{0}^{2\cdot\pi}dt=\omega,$$
и в силу теоремы об условиях независимости величины криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования поле $(P,Q)$ не может быть потенциальным.

Критерий потенциальности неприменим, так как поле определено в неоднозначной области $G={(x,y): x^{2} + y^{2}>0}.$

[свернуть]

Список использованной литературы:

Критерий потенциальности поля

Предлагаем пройти тест на закрепление знаний по данной статье


Таблица лучших: Критерий потенциальности поля

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных